Uma equação cartesiana para a curva parametrizada r(t)=(t^2, t^3), t in R, é:
a) x^2=y^3, y in[0,+infty).
b) raizx=raiz[3]y, y in R.
c) raizx=raiz[3]y, y in[0,+infty).
d) x^3=y^2, y in[0,+infty).
e) x^3=y^2, y in R.

Passo 1

Então, a gente tem uma curva parametrizada dada por r(t) = (t^2, t^3) , onde t é um número real. O que precisamos fazer aqui é transformar essa forma paramétrica em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona x e y diretamente, sem o parâmetro t . Para isso, vamos usar o conteúdo de remoção de parâmetro em equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões para x e y em termos de t . Na nossa curva:
x = t^2
y = t^3
Queremos eliminar o parâmetro t para relacionar x diretamente com y .

Passo 3

Da primeira equação, temos:
x = t^2
Podemos resolver essa equação para t :
t = raizx
Mas precisamos lembrar que t pode ser positivo ou negativo, já que estamos lidando com números reais. No entanto, para simplificar, vamos considerar a relação entre x e y .

Passo 4

Agora, substituímos t = raizx na equação de y :
y = t^3 = (raizx)^3 = x^32
Isso nos dá a relação entre x e y :
y = x^32

Passo 5

Para escrever isso de maneira mais clara, podemos reescrever a equação:
x^32 = y
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a fração no expoente:
x^3 = y^2

Passo 6

Agora, vamos analisar as opções dadas:
a) x^2 = y^3, y in[0,+infty)
b) raizx = raiz[3]y, y in R
c) raizx = raiz[3]y, y in[0,+infty)
d) x^3 = y^2, y in[0,+infty)
e) x^3 = y^2, y in R
Nossa equação chegou a x^3 = y^2 . Agora, precisamos ver quais alternativas correspondem a isso.

Passo 7

Observando a opção d) x^3 = y^2, y in[0,+infty) e a opção e) x^3 = y^2, y in R , vemos que ambas têm a mesma relação de x e y . A diferença está no intervalo de y .

Passo 8

Na nossa parametrização original, t é qualquer número real, então y = t^3 também pode ser qualquer número real, pois o cubo de qualquer real é real. Portanto, y não está restrito a valores positivos ou zero.

Passo 9

Com isso, a opção correta é a e) x^3 = y^2, y in R , pois ela reflete corretamente a relação encontrada sem restringir o intervalo de y .

Resposta

A alternativa correta é a e) x^3 = y^2, y in R .

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