Uma equação cartesiana para a curva parametrizada
, é:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, a gente tem uma curva parametrizada dada por
, onde
é um número real. O que precisamos fazer aqui é transformar essa forma paramétrica em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona
e
diretamente, sem o parâmetro
. Para isso, vamos usar o conteúdo de remoção de parâmetro em equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as expressões para
e
em termos de
. Na nossa curva:
Queremos eliminar o parâmetro
para relacionar
diretamente com
.
Passo 3
Da primeira equação, temos:
Podemos resolver essa equação para
:
Mas precisamos lembrar que
pode ser positivo ou negativo, já que estamos lidando com números reais. No entanto, para simplificar, vamos considerar a relação entre
e
.
Passo 4
Agora, substituímos
na equação de
:
Isso nos dá a relação entre
e
:
Passo 5
Para escrever isso de maneira mais clara, podemos reescrever a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a fração no expoente:
Passo 6
Agora, vamos analisar as opções dadas:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Nossa equação chegou a
. Agora, precisamos ver quais alternativas correspondem a isso.
Passo 7
Observando a opção d)
e a opção e)
, vemos que ambas têm a mesma relação de
e
. A diferença está no intervalo de
.
Passo 8
Na nossa parametrização original,
é qualquer número real, então
também pode ser qualquer número real, pois o cubo de qualquer real é real. Portanto,
não está restrito a valores positivos ou zero.
Passo 9
Com isso, a opção correta é a e)
, pois ela reflete corretamente a relação encontrada sem restringir o intervalo de
.
Resposta
A alternativa correta é a e)
.