Uma parametrização para a curva dada pela interseção do cilindro 3 x^2+8 y^2=24 com o plano z=2020 é:
a) r(t)=(raiz8 cos (2 t), raiz3 sin (2 t), 2020), t in R.
b) r(t)=(8 cos t, 3 sin t, 2020), t in R.
c) r(t)=(3 cos t, 8 sin t, 2020), t in[0, pi].
d) r(t)=(raiz3 cos t, raiz8 sin t, 2020), t in[0, pi].
e) r(t)=(raiz3 cos (2 t), raiz8 sin (2 t), 2020), t in[0, pi].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro definido pela equação 3x^2 + 8y^2 = 24 e um plano definido por z = 2020. A interseção dessas duas superfícies gera uma curva no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa curva, ou seja, uma função r(t) que descreva todos os pontos que fazem parte dessa curva. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica e parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro para facilitar a parametrização. A equação dada é:
3x^2 + 8y^2 = 24
Podemos dividir todos os termos por 24 para normalizar a equação:
3x^224 + 8y^224 = 1
Simplificando os denominadores:
x^28 + y^23 = 1
Essa é a equação de uma elipse no plano z = 2020.

Passo 3

Sabemos que uma parametrização para uma elipse na forma x^2a^2 + y^2b^2 = 1 é dada por:
x = a cos(t)
y = b sin(t)
onde t varia de 0 a 2pi.
No nosso caso, comparando com x^28 + y^23 = 1, temos:
  • a^2 = 8 portanto a = raiz8
  • b^2 = 3 portanto b = raiz3

Passo 4

Agora, incluindo a coordenada z, que é constante e igual a 2020, a parametrização completa da curva de interseção será:
r(t) = (raiz8 cos(t), raiz3 sin(t), 2020), t in [0, 2pi]

Resposta

A parametrização correta para a curva de interseção é a opção a)
r(t) = (raiz8 cos(2t), raiz3 sin(2t), 2020), t in R

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