Uma equação cartesiana para a curva parametrizada por
é:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida de forma parametrizada por
, onde
pertence a todos os números reais (
). O objetivo é encontrar uma equação cartesiana que descreva essa curva e identificar qual das opções fornecidas está correta. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada componente da função
representa:
Essas expressões nos mostram como
e
estão relacionados com o parâmetro
.
Passo 3
Agora, lembremos de uma identidade trigonométrica fundamental:
Essa identidade nos diz que, para qualquer valor de
, a soma de
e
será sempre igual a 1.
Passo 4
Vamos usar essa identidade para relacionar
e
:
Portanto, a equação cartesiana que descreve a curva é
.
Além disso, vamos considerar os intervalos dos valores de
e
. Sabemos que
e
variam entre 0 e 1, já que o quadrado de qualquer seno ou cosseno não pode ser negativo e não excede 1. Assim,
está no intervalo
.
Resposta
A opção b)
é a correta.