Uma equação cartesiana para a curva parametrizada por f(t)=(cos ^2 t, sin ^2 t), t in R é:
a) x^2-y^2=0, x in[-1,1].
b) x+y=1, x in[0,1].
c) x-y=0, x in[-1,1].
d) x-y=1, x in R.
e) x^2+y^2=1, x in R.
f) x+y=1, x in R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida de forma parametrizada por f(t) = (cos^2 t, sin^2 t) , onde t pertence a todos os números reais ( R ). O objetivo é encontrar uma equação cartesiana que descreva essa curva e identificar qual das opções fornecidas está correta. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada componente da função f(t) representa:
  • x = cos^2 t
  • y = sin^2 t
Essas expressões nos mostram como x e y estão relacionados com o parâmetro t .

Passo 3

Agora, lembremos de uma identidade trigonométrica fundamental:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Essa identidade nos diz que, para qualquer valor de t , a soma de cos^2 t e sin^2 t será sempre igual a 1.

Passo 4

Vamos usar essa identidade para relacionar x e y :
x + y = cos^2 t + sin^2 t = 1
Portanto, a equação cartesiana que descreve a curva é x + y = 1 .
Além disso, vamos considerar os intervalos dos valores de x e y . Sabemos que cos^2 t e sin^2 t variam entre 0 e 1, já que o quadrado de qualquer seno ou cosseno não pode ser negativo e não excede 1. Assim, x está no intervalo [0, 1].

Resposta

A opção b) x + y = 1, x in [0,1] é a correta.

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