A equação partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2, para a constante, é chamada equação da onda. Ela descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda do mar, uma onda de som ou uma onda se movendo numa corda vibrante. Verifique se a função u(t, x)=sen(k x) sen(a k t), com a e k constantes, é solução da equação da onda.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(t,x)=sin(kx),sin(a k t)
satisfaz a equação da onda
partial^2 upartial t^2=a^2partial^2 upartial x^2,
onde a e k são constantes. Para isso, vamos calcular separadamente partial^2 u/partial t^2 e partial^2 u/partial x^2 usando derivadas parciais e a regra da cadeia para a função seno.

Passo 2

Primeiro, derivamos u em relação a t. Como sin(kx) é tratado como constante em relação a t, temos
partial upartial t =sin(kx),ddtl[sin(a k t)r] =sin(kx),(a k)cos(a k t)
Derivando de novo em t,
partial^2 upartial t^2 =sin(kx),(a k),ddtl[cos(a k t)r] =sin(kx),(a k),(-a k)sin(a k t) =-a^2k^2,sin(kx),sin(a k t)

Passo 3

Agora derivamos u em relação a x. Aqui sin(a k t) é constante em x, então
partial upartial x =sin(a k t),ddxl[sin(kx)r] =sin(a k t),kcos(kx)
Derivando de novo em x,
partial^2 upartial x^2 =sin(a k t),k,ddxl[cos(kx)r] =sin(a k t),k,(-k)sin(kx) =-k^2,sin(kx),sin(a k t)

Passo 4

Multiplicando partial^2 u/partial x^2 por a^2, obtemos
a^2partial^2 upartial x^2 =-a^2k^2,sin(kx),sin(a k t),
que coincide exatamente com partial^2 u/partial t^2. Portanto
partial^2 upartial t^2 =a^2partial^2 upartial x^2,
mostrando que u(t,x)=sin(kx)sin(a k t) é de fato solução da equação da onda.

Resposta

A função u(t,x)=sin(kx),sin(a k t) satisfaz a equação da onda partial^2 u/partial t^2=a^2,partial^2 u/partial x^2.

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