Sejam A, B e C matrizes n \times n.
(A B) C=C(A B) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas três matrizes quadradas A,B,C de ordem n, vale sempre
(AB)C \;=\; C(AB).
O que precisamos lembrar é que a multiplicação de matrizes é associativa (mas não é, em geral, comutativa).

Passo 2

Pela associatividade sabemos que
(AB)C \;=\; A\,(BC).
Por outro lado, também por associatividade,
C(AB) \;=\;(CA)\,B.

Passo 3

Para que (AB)C=C(AB) fosse verdade em todo caso, precisaríamos de
A\,(BC) \;=\; (CA)\,B.
Isto exigiria, por exemplo, que C comutasse com A e/ou B, o que não ocorre para matrizes em geral.

Passo 4

Apresentamos um contraexemplo em \mathbb R^{2\times2}. Defina
A = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
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(AB)C = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
enquanto
C(AB) = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, temos (AB)C\neq C(AB).

Resposta

Não, em geral (AB)C\neq C(AB), pois a multiplicação de matrizes não é comutativa; vale apenas a associatividade.

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