Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer
para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3
(I) Não sei
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3
(I) Não sei
Passo 1
O enunciado pede o centro
e o raio
do círculo que passa pelos três pontos
,
e
. Sabemos que a equação geral do círculo é
com
,
e
. Vamos montar o sistema linear em
e depois usar essas relações para obter
.
Passo 2
Para cada ponto
vale
Substituindo:
Passo 3
Eliminamos
igualando as duas primeiras e as duas últimas equações:
Passo 4
Com
em
vem
E
pode ser obtido por exemplo de
:
Passo 5
Agora
e
. O raio satisfaz
Resposta
(C) 14.3