Q6: A equação do círculo com centro em (x0, y0) in R^2 e raio r é dada por: (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2. Abrindo a expressão obtemos:
x^2+a x+y^2+b y=c
onde a=-2 x0, b=-2 y0, c=r^2-x0^2-y0^2.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x0, y0, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-4),(-1,-1) e (-1,5). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o centro l(x0,y0r) e o raio r do círculo que passa pelos três pontos (-2,-4), (-1,-1) e (-1,5). Sabemos que a equação geral do círculo é
x^2+a,x+y^2+b,y=c,
com a=-2x0, b=-2y0 e c=r^2-x0^2-y0^2. Vamos montar o sistema linear em a,b,c e depois usar essas relações para obter l(x0,y0,rr).

Passo 2

Para cada ponto l(xi,yir) vale
xi^2+a,xi+yi^2+b,yi=c
Substituindo:
(-2,-4)colon 4-2a+16-4b=cLongrightarrow 20-2a-4b=c,
(-1,-1)colon 1 -a+1 -b=cLongrightarrow 2 -a -b=c,
(-1,5)colon 1 -a+25+5b=cLongrightarrow 26 -a +5b=c

Passo 3

Eliminamos c igualando as duas primeiras e as duas últimas equações:
20-2a-4b = 2 -a -b Longrightarrow 18 -a -3b=0 Longrightarrow a+3b=18,
2 -a -b = 26 -a +5b Longrightarrow -24 -6b=0 Longrightarrow b=-4

Passo 4

Com b=-4 em a+3b=18 vem
a +3(-4)=18 Longrightarrow a=18+12=30
E c pode ser obtido por exemplo de 2 -a -b=c:
c = 2 -30 -(-4) = -24

Passo 5

Agora x0=-tfraca2=-15 e y0=-tfracb2=2. O raio satisfaz
r^2=x0^2+y0^2+c=225+4-24=205 Longrightarrow r=raiz205approx14.318approx14.3

Resposta

(C) 14.3

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