Q7: Considere os seguintes planos em R^4 :
[r2 -8 -17 -16]+span[r3 1 -3 0],[l0 3 2 2] e
[r-7 -3 -7 -15]+span[r-3 1 0 -3],[l1 1 0 2].
Calcule o ponto (x1, x2, x3, x4) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x1 é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço de quatro dimensões, R^4. Cada plano é definido por um ponto inicial e dois vetores que indicam direções dentro do plano. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde esses dois planos se cruzam, ou seja, onde eles têm o mesmo ponto em comum. Especificamente, vamos descobrir o valor de x1 nesse ponto de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e spans de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão definidos os dois planos:
  • Plano 1: É o conjunto de todos os pontos que podem ser escritos como v1 + a cdot u1 + b cdot u2 , onde a e b são números reais. Aqui, v1 = 2 -8 -17 -16 , u1 = 3 1 -3 0 , e u2 = 0 3 2 2 .
  • Plano 2: Similarmente, é o conjunto de pontos v2 + c cdot w1 + d cdot w2 , onde c e d são números reais. Aqui, v2 = -7 -3 -7 -15 , w1 = -3 1 0 -3 , e w2 = 1 1 0 2 .

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos encontrar valores de a, b, c, e d que façam os dois planos terem o mesmo ponto. Ou seja:
v1 + a cdot u1 + b cdot u2 = v2 + c cdot w1 + d cdot w2
Vamos escrever isso componente a componente:
2 + 3a + 0b = -7 -3c + d -8 + a + 3b = -3 + c + d -17 -3a + 2b = -7 + 0c + 0d -16 + 0a + 2b = -15 -3c + 2d

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Equação 3:
-17 -3a + 2b = -7
Vamos isolar:
-3a + 2b = 10 (Eq 3.1)
Equação 1:
2 + 3a = -7 -3c + d
Vamos reorganizar:
3a + 3c - d = -9 (Eq 1.1)
Equação 2:
-8 + a + 3b = -3 + c + d
Reorganizando:
a + 3b - c - d = 5 (Eq 2.1)
Equação 4:
-16 + 2b = -15 -3c + 2d
Reorganizando:
2b + 3c - 2d = 1 (Eq 4.1)

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
-3a + 2b = 10 (Eq 3.1) 3a + 3c - d = -9 (Eq 1.1) a + 3b - c - d = 5 (Eq 2.1) 2b + 3c - 2d = 1 (Eq 4.1)
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da Eq. 3.1, podemos expressar a em termos de b:
-3a + 2b = 10 Rightarrow 3a = 2b - 10 Rightarrow a = 2b - 103 (Eq 5.1)

Passo 6

Vamos substituir a da Eq. 5.1 na Eq. 2.1:
2b - 103 + 3b - c - d = 5
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
2b - 10 + 9b - 3c - 3d = 15
Simplificando:
11b - 3c - 3d = 25 (Eq 6.1)

Passo 7

Agora, vamos substituir a da Eq. 5.1 na Eq. 1.1:
3(2b - 103) + 3c - d = -9
Simplificando:
2b - 10 + 3c - d = -9
Rearranjando:
2b + 3c - d = 1 (Eq 7.1)

Passo 8

Agora, temos as seguintes equações:
11b - 3c - 3d = 25 (Eq 6.1) 2b + 3c - d = 1 (Eq 7.1) 2b + 3c - 2d = 1 (Eq 4.1)
Vamos resolver Eq. 7.1 e Eq. 4.1 para encontrar d.
Subtraindo Eq. 7.1 de Eq. 4.1:
(2b + 3c - 2d) - (2b + 3c - d) = 1 - 1
Simplificando:
- d = 0 Rightarrow d = 0

Passo 9

Agora que sabemos que [d = 0), vamos substituir esse valor na Eq. 7.1:
E na Eq. 6.1:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar (c]:

Passo 10

Agora que sabemos que b = 2, vamos substituir esse valor na Eq. 9.1 para encontrar c:
2(2) + 3c = 1 Rightarrow 4 + 3c = 1 Rightarrow 3c = -3 Rightarrow c = -1

Passo 11

Com b = 2, encontramos a usando a Eq. 5.1:
a = 2(2) - 103 = 4 - 103 = -63 = -2

Passo 12

Agora que temos todos os valores das variáveis:
a = -2, b = 2, c = -1, d = 0
Vamos encontrar o ponto de interseção substituindo esses valores em qualquer uma das definições dos planos. Vamos usar o Plano 1:
v1 + a cdot u1 + b cdot u2 = 2 -8 -17 -16 + (-2) 3 1 -3 0 + 2 0 3 2 2
Calculando:
= 2 -8 -17 -16 + -6 -2 6 0 + 0 6 4 4 = 2 -6 +0 -8 -2 +6 -17 +6 +4 -16 +0 +4 = -4 -4 -7 -12

Resposta

O valor de x1 é -4.

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