Q7: Considere os seguintes planos em : [r-7 -3 -7 -15]+span[r-3 1 0 -3],[l1 1 0 2].
Calcule o ponto (x1, x2, x3, x4) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x1 é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
(I) Não sei
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço de quatro dimensões, R^4. Cada plano é definido por um ponto inicial e dois vetores que indicam direções dentro do plano. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde esses dois planos se cruzam, ou seja, onde eles têm o mesmo ponto em comum. Especificamente, vamos descobrir o valor de x1 nesse ponto de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e spans de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como estão definidos os dois planos:
Plano 1: É o conjunto de todos os pontos que podem ser escritos como v1 + a cdot u1 + b cdot u2 , onde a e b são números reais. Aqui, v1 = 2 -8 -17 -16 , u1 = 3 1 -3 0 , e u2 = 0 3 2 2 .
Plano 2: Similarmente, é o conjunto de pontos v2 + c cdot w1 + d cdot w2 , onde c e d são números reais. Aqui, v2 = -7 -3 -7 -15 , w1 = -3 1 0 -3 , e w2 = 1 1 0 2 .
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos encontrar valores de a, b, c, e d que façam os dois planos terem o mesmo ponto. Ou seja:
v1 + a cdot u1 + b cdot u2 = v2 + c cdot w1 + d cdot w2