Q4: O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que -2 x1+x3=3 pode ser representado por:
A) [r-2 2 -1 3]+span[l2 0 1 0],[r0 -4 0 0],[l0 0 0 6]
B) [r-2 1 -3 -1]+span[l1 0 2 0],[r0 0 0 -5],[r0 -3 0 0]
C) [r2 3 7 -3]+span[l0 2 0 1],[l0 0 7 0],[r-1 0 0 0]
D) [r-2 2 -1 3]+span[l1 0 2 0],[r0 -6 0 0],[l0 0 0 3]
E) [r-2 1 -3 -1]+span[l2 0 1 0],[r0 0 0 -7],[l0 1 0 0]
F) [r2 3 7 -3]+span[l0 1 0 2],[l5 0 0 0],[l0 0 4 0]
G) [r3 -3 9 1]+span[l0 2 0 1],[r0 0 -5 0],[r-4 0 0 0]
H) [r3 -3 9 1]+span[l0 1 0 2],[l2 0 0 0],[r0 0 -2 0]
I) Não sei
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os (x1,x2,x3,x4)inR^4 que satisfazem
-2x1+x3=3
Isso é um subespaço afim de dimensão 3: precisamos encontrar uma solução particular p e a solução geral do homogêneo -2x1+x3=0.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo -2x1+x3=0 vemos que x3=2x1 e x2,x4 são livres. Logo a parte linear geral é
(x1,x2,x3,x4) = s,(1,0,2,0) + t,(0,1,0,0) + u,(0,0,0,1),
com s,t,uinR.

Passo 3

Escolhemos um p que satisfaça -2p1+p3=3. Na opção D aparece
p = (-2,2,-1,3),
e de fato -2cdot(-2)+(-1)=4-1=3, então p é válido.

Passo 4

Verificamos agora os vetores de direção da opção D:
v1=(1,0,2,0), v2=(0,-6,0,0), v3=(0,0,0,3)
Cada um satisfaz
-2vi1+vi3=0
e são linearmente independentes, gerando exatamente o espaço nulo descrito no passo 2.

Passo 5

Assim, a forma
(-2,2,-1,3)+span(1,0,2,0),(0,-6,0,0),(0,0,0,3)
corresponde ao conjunto (x1,x2,x3,x4)mid -2x1+x3=3. Essa é a opção D.

Resposta

D

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