Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 4 vetores. II - Todo subconjunto de
com mais do que 4 vetores gera
.
III - Todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
I - Todo subconjunto LD de
III - Todo subconjunto LI de
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e apresenta três afirmações sobre dependência linear, geração e independência. Vamos usar os conceitos:
- Uma família é linearmente dependente (LD) se existe dependência não trivial.
- Uma família gera
se seu span é todo . - Uma família de
vetores em é base se for linearmente independente (LI), pois .
Passo 2
Analisando I: “Todo subconjunto LD de
possui no mínimo
vetores.” Basta dar um contraexemplo. Em qualquer reta de
, escolho dois vetores colineares
e
. Esse par é LD e tem apenas
vetores. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Todo subconjunto de
com mais do que
vetores gera
.” Ter mais de
vetores implica dependência, mas não garante que o span seja todo
. Exemplo: cinco vetores todos múltiplos de um mesmo
. São dependentes e geram apenas a reta
. Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Todo subconjunto LI de
com
vetores é uma base de
.” Pelo Teorema da Base em espaços finito-dimensionais, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão forma uma base. Assim III é verdadeira.
Resposta
(F) Apenas III é verdadeira.