Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 4 vetores. II - Todo subconjunto de V com mais do que 4 vetores gera V.
III - Todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 4 e apresenta três afirmações sobre dependência linear, geração e independência. Vamos usar os conceitos:
  • Uma família é linearmente dependente (LD) se existe dependência não trivial.
  • Uma família gera V se seu span é todo V.
  • Uma família de 4 vetores em V é base se for linearmente independente (LI), pois dim V=4.

Passo 2

Analisando I: “Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 4 vetores.” Basta dar um contraexemplo. Em qualquer reta de V, escolho dois vetores colineares u e 2u. Esse par é LD e tem apenas 2 vetores. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Todo subconjunto de V com mais do que 4 vetores gera V.” Ter mais de 4 vetores implica dependência, mas não garante que o span seja todo V. Exemplo: cinco vetores todos múltiplos de um mesmo uneq0. São dependentes e geram apenas a reta lang<= urang<=neq V. Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.” Pelo Teorema da Base em espaços finito-dimensionais, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão forma uma base. Assim III é verdadeira.

Resposta

(F) Apenas III é verdadeira.

Exercícios relacionados