Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso desafio é encontrar o valor de k que faz esse sistema ter pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que basicamente transforma a matriz para facilitar a visualização das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & -2 & -2 & vert & -1 1 & -5 & -4 & vert & 1 2 & -10 & -12 & vert & 3 2 & -7 & -2 & vert & k
A ideia é transformar essa matriz para que ela chegue numa forma mais simples, onde possamos ver as relações entre as equações.
Passo 3
Vamos começar eliminando o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira. Para isso:
Subtraia a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas.
Operações:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 - 2 times Linha 1
Linha 4: Linha 4 - 2 times Linha 1
Resultado:
1 & -2 & -2 & vert & -1 0 & -3 & -2 & vert & 2 0 & -6 & -8 & vert & 5 0 & -3 & 2 & vert & k + 2
Passo 4
Agora, vamos simplificar ainda mais. Vamos eliminar o segundo elemento das linhas abaixo da segunda.
Subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira.
Subtraia a segunda linha da quarta.
Operações:
Linha 3: Linha 3 - 2 times Linha 2
Linha 4: Linha 4 - Linha 2
Resultado:
1 & -2 & -2 & vert & -1 0 & -3 & -2 & vert & 2 0 & 0 & -4 & vert & 1 0 & 0 & 4 & vert & k
Passo 5
Observamos agora que nas duas últimas linhas, temos:
-4z = 1 4z = k
Vamos somar essas duas equações para eliminar z :
-4z + 4z = 1 + k Rightarrow 0 = 1 + k
Resolvendo para k :
k = -1
Resposta
O valor de k que faz o sistema ter solução é -1, que corresponde à opção (C).