Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 7 x+2 y-3 z=3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{2}{3}\right)+t(7,0,23)+s(0,5,5)
(B) \left(1,-1,-\frac{7}{3}\right)+t(9,0,21)+s(0,-12,-8)
(C) \left(1,-1,-\frac{7}{3}\right)+t(12,0,18)+s(0,7,3)
(D) \left(1,-1, \frac{2}{3}\right)+t(9,0,21)+s(0,-12,-8)
(E) \left(-1,1,-\frac{8}{3}\right)+t(12,0,18)+s(0,7,3)
(F) \left(-1,1,-\frac{8}{3}\right)+t(7,0,23)+s(0,5,5)

Passo 1

O enunciado dá o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; 7x+2y-3z=3\} e pede qual das parametrizações (A)–(F) representa esse mesmo plano, onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é \;7x+2y-3z=3\;.
  • Há seis opções de forma \;P_0 + t\mathbf{u} + s\mathbf{v}\; (cada uma com um ponto inicial P_0 e dois vetores diretores \mathbf{u},\mathbf{v}).
    O objetivo é encontrar qual opção descreve exatamente o mesmo conjunto de pontos que satisfazem \;7x+2y-3z=3\;.

Passo 2

Ideia do que uma representação paramétrica do plano precisa satisfazer (mini-aula):
  • Um plano pode ser descrito por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) que pertence ao plano e por dois vetores não colineares \mathbf{u} e \mathbf{v} que estão contidos no plano. A forma é
P(t,s)=P_0 + t\mathbf{u} + s\mathbf{v}.
  • O vetor normal \mathbf{n} do plano é o coeficiente da equação explícita. Aqui
\mathbf{n}=(7,2,-3).
  • Propriedade-chave: qualquer vetor \mathbf{w} que esteja contido no plano é ortogonal a \mathbf{n}; isto é,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0.
Explicando o produto escalar: se \mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z) e \mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z) então
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=n_x w_x + n_y w_y + n_z w_z.
No nosso caso isso dá 7w_x + 2w_y -3w_z=0.

Passo 3

Encontrar dois vetores diretores explícitos (didática, escolha prática que se usa em prova):
  • Procuro \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) com 7u_x+2u_y-3u_z=0. Uma escolha simples é forçar u_y=0 e resolver 7u_x-3u_z=0. Tomando u_x=3 obtemos 7\cdot3 -3u_z=0\Rightarrow u_z=7. Assim um vetor é
\mathbf{u}=(3,0,7).
  • Outro vetor: forçar u_x=0 e resolver 2u_y-3u_z=0. Tomando u_y=3 obtemos u_z=2. Assim um segundo vetor é
\mathbf{v}=(0,3,2).
  • Observação útil: quaisquer múltiplos escalares desses vetores também servem como diretores do plano (por exemplo (9,0,21)=3(3,0,7) e (0,-12,-8)=-4(0,3,2)). Em prova isso facilita reconhecer opções que usam versões escaladas.

Passo 4

Encontrar um ponto P_0 que esteja no plano (didática de escolha rápida):
  • A equação \;7x+2y-3z=3\; pode ser resolvida para z:
3z = 7x+2y-3 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{7x+2y-3}{3}.
  • Escolho valores simples para x e y, por exemplo x=1,\;y=-1. Então
z=\frac{7\cdot1 + 2\cdot(-1) -3}{3}=\frac{7-2-3}{3}=\frac{2}{3}.
Logo um ponto do plano é
P_0=\Bigl(1,-1,\tfrac{2}{3}\Bigr).
Esse ponto deve aparecer (ou ser equivalente a outro ponto da mesma parametrização) na opção correta.

Passo 5

Como testar rapidamente cada opção (estratégia para a prova):
  • Verificar se o ponto inicial P_0 da opção está no plano (ou é equivalente a um ponto do plano).
  • Verificar se os vetores diretores da opção são ortogonais a \mathbf{n}=(7,2,-3) (isto é, seu produto escalar com \mathbf{n} deve ser 0). Se ambos os testes passarem, a opção representa o plano.
Agora aplico os testes às opções (cálculos mostrados passo a passo):
Opção (A): ponto P_0=\bigl(1,-1,\tfrac{2}{3}\bigr). Teste do ponto:
7\cdot1 + 2\cdot(-1) -3\cdot\frac{2}{3}=7-2-2=3,
logo o ponto pertence ao plano. Vetor \mathbf{u}=(7,0,23). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=7\cdot7 + 2\cdot0 -3\cdot23 =49 -69 = -20 \neq 0.
Portanto \mathbf{u} não está no plano; a opção (A) está incorreta.
Opção (B): ponto P_0=\bigl(1,-1,-\tfrac{7}{3}\bigr). Teste do ponto:
7\cdot1 + 2\cdot(-1) -3\cdot\Bigl(-\tfrac{7}{3}\Bigr)=7-2+7=12 \neq 3,
então o ponto não pertence ao plano. Logo (B) incorreta sem nem precisar testar vetores.
Opção (C): mesmo ponto que (B), logo também incorreta pelo mesmo motivo.
Opção (D): ponto P_0=\bigl(1,-1,\tfrac{2}{3}\bigr). Teste do ponto já fizemos e deu 3, então o ponto pertence ao plano. Vetores dados: \mathbf{u}=(9,0,21) e \mathbf{v}=(0,-12,-8).
  • Produto escalar com \mathbf{u}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=7\cdot9 + 2\cdot0 -3\cdot21 =63 -63 = 0.
  • Produto escalar com \mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=7\cdot0 + 2\cdot(-12) -3\cdot(-8) = -24 +24 = 0.
Ambos vetores são ortogonais a \mathbf{n}, portanto pertencem ao plano, e o ponto base também pertence ao plano. Assim (D) representa o plano.
Opção (E): ponto P_0=\bigl(-1,1,-\tfrac{8}{3}\bigr). Teste do ponto:
7(-1)+2(1)-3\Bigl(-\tfrac{8}{3}\Bigr)=-7+2+8=3,
o ponto pertence ao plano. Mas vetor \mathbf{u}=(12,0,18):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=7\cdot12 + 2\cdot0 -3\cdot18 =84 -54 =30 \neq 0,
logo (E) incorreta.
Opção (F): mesmo ponto que (E) (que é do plano), mas vetor (7,0,23) tem produto escalar -20 (já calculado em (A)), então (F) também incorreta.

Passo 6

Conclusão passo a passo: a única opção em que o ponto inicial está no plano e os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}=(7,2,-3) é a opção (D). Portanto (D) é a resposta correta. Boa! Esse é o procedimento que dá para usar rápido na prova: encontrar um ponto simples do plano e encontrar vetores diretores (exigindo produto escalar zero com o normal) ou simplesmente testar as opções com esses dois critérios.

Resposta

(D)

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