Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede qual das parametrizações (A)–(F) representa esse mesmo plano, onde
são parâmetros.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação do plano é
- Há seis opções de forma
(cada uma com um ponto inicial e dois vetores diretores ).
O objetivo é encontrar qual opção descreve exatamente o mesmo conjunto de pontos que satisfazem
Passo 2
Ideia do que uma representação paramétrica do plano precisa satisfazer (mini-aula):
- Um plano pode ser descrito por um ponto
que pertence ao plano e por dois vetores não colineares e que estão contidos no plano. A forma é
- O vetor normal
do plano é o coeficiente da equação explícita. Aqui
- Propriedade-chave: qualquer vetor
que esteja contido no plano é ortogonal a ; isto é,
Explicando o produto escalar: se
e
então
No nosso caso isso dá
.
Passo 3
Encontrar dois vetores diretores explícitos (didática, escolha prática que se usa em prova):
- Procuro
com . Uma escolha simples é forçar e resolver . Tomando obtemos . Assim um vetor é
- Outro vetor: forçar
e resolver . Tomando obtemos . Assim um segundo vetor é
- Observação útil: quaisquer múltiplos escalares desses vetores também servem como diretores do plano (por exemplo
e ). Em prova isso facilita reconhecer opções que usam versões escaladas.
Passo 4
Encontrar um ponto
que esteja no plano (didática de escolha rápida):
- A equação
pode ser resolvida para :
- Escolho valores simples para
e , por exemplo . Então
Logo um ponto do plano é
Esse ponto deve aparecer (ou ser equivalente a outro ponto da mesma parametrização) na opção correta.
Passo 5
Como testar rapidamente cada opção (estratégia para a prova):
- Verificar se o ponto inicial
da opção está no plano (ou é equivalente a um ponto do plano). - Verificar se os vetores diretores da opção são ortogonais a
(isto é, seu produto escalar com deve ser ). Se ambos os testes passarem, a opção representa o plano.
Agora aplico os testes às opções (cálculos mostrados passo a passo):
Opção (A): ponto
. Teste do ponto:
logo o ponto pertence ao plano. Vetor
. Produto escalar:
Portanto
não está no plano; a opção (A) está incorreta.
Opção (B): ponto
. Teste do ponto:
então o ponto não pertence ao plano. Logo (B) incorreta sem nem precisar testar vetores.
Opção (C): mesmo ponto que (B), logo também incorreta pelo mesmo motivo.
Opção (D): ponto
. Teste do ponto já fizemos e deu
, então o ponto pertence ao plano. Vetores dados:
e
.
- Produto escalar com
:
- Produto escalar com
:
Ambos vetores são ortogonais a
, portanto pertencem ao plano, e o ponto base também pertence ao plano. Assim (D) representa o plano.
Opção (E): ponto
. Teste do ponto:
o ponto pertence ao plano. Mas vetor
:
logo (E) incorreta.
Opção (F): mesmo ponto que (E) (que é do plano), mas vetor
tem produto escalar
(já calculado em (A)), então (F) também incorreta.
Passo 6
Conclusão passo a passo: a única opção em que o ponto inicial está no plano e os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal
é a opção (D). Portanto (D) é a resposta correta. Boa! Esse é o procedimento que dá para usar rápido na prova: encontrar um ponto simples do plano e encontrar vetores diretores (exigindo produto escalar zero com o normal) ou simplesmente testar as opções com esses dois critérios.
Resposta
(D)