x^2+y^2+2x+4y+p=0 é equação de uma circunferência, desde que…

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+2x+4y+p=0
e pergunta para quais valores de p isso representa uma circunferência com raio real e positivo. O conteúdo é geometria analítica de circunferência e vamos usar completamento de quadrados.

Passo 2

Reescrevemos os termos em x completando quadrado:
x^2+2x = (x+1)^2-1

Passo 3

Fazemos o mesmo para os termos em y:
y^2+4y = (y+2)^2-4

Passo 4

Substituindo essas duas expressões na equação original, obtemos
(x+1)^2-1 + (y+2)^2-4 + p = 0
que organiza em
(x+1)^2 + (y+2)^2 + (p - 5) = 0
ou seja
(x+1)^2 + (y+2)^2 = 5 - p

Passo 5

Para que isso seja o conjunto de pontos a uma distância real e positiva de (-1,-2), precisamos de
5 - p > 0,
isto é
p < 5

Resposta

p < 5

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