Estabelecer a condição que deve ser satisfeita para os termos independentes a,b e c para que o sistema lx+2 y=a -3 x+4 y=b seja compatível (R: c-2 a+y+3 x2=0) 2 x-y=cí

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas incógnitas x,y e três equações:
x + 2y = a, -3x + 4y = b, 2x - y = c
Como há mais equações do que incógnitas, o sistema só será compatível se a terceira equação for consequência linear das duas primeiras. Vamos então resolver as duas primeiras e impor que nelas caiba também a terceira.

Passo 2

Resolvendo as duas primeiras equações, a partir de
x + 2y = a
temos
x = a - 2y
Substituindo em
-3x + 4y = b
vem
-3(a - 2y) + 4y = b Longrightarrow -3a + 6y + 4y = b Longrightarrow 10y = b + 3a Longrightarrow y = b + 3a10
Então
x = a - 2cdotb + 3a10 = 10a - 2(b + 3a)10 = 4a - 2b10 = 2a - b5

Passo 3

Para que o sistema seja compatível, esses x e y devem satisfazer também
2x - y = c
Substituindo
2l(2a - b5r);-;b + 3a10 = c

Passo 4

Calculemos o lado esquerdo em uma só fração com denominador 10:
2cdot2a - b5 = 4a - 2b5 = 8a - 4b10,
então
8a - 4b10 ;-;b + 3a10 = 8a - 4b - (b + 3a)10 = 5a - 5b10 = a - b2
Logo a condição de compatibilidade é
a - b2 = c
Equivalente a
a - b - 2c = 0

Resposta

a - b - 2c = 0

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