Equação de Clairaut.

Mostre que uma solução para a equação de Clairaut y=x y^prime+f(y^prime) é uma família de retas da forma y=c x+f(c), em que c é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
a) y=x y^prime+1-ln (y^prime)
b) y=x y^prime+(y^prime)^-2
c) y-x y^prime=ln (y^prime)

Passo 1

O enunciado trata da equação de Clairaut
y = x,y' + fl(y'r)
e pede para mostrar que a solução geral é uma família de retas
y = c,x + f(c)
com parâmetro c, e ainda encontrar a solução singular (a envoltória dessas retas). Em seguida, aplicar esse método aos casos
a) y = x,y' + 1 - lnl(y'r)
b) y = x,y' + l(y'r)^-2
c) y - x,y' = lnl(y'r).

Passo 2

Começamos escrevendo p = y' e
y = x,p + f(p)
Diferenciando ambos os lados em relação a x
y' = p + l(x + f'(p)r),p'
Como y'=p, isso implica
l(x + f'(p)r),p' = 0
Dessa equação saem duas possibilidades:
  1. p' = 0, ou seja p=c constante, gerando a família de retas y = c,x + f(c)
  2. x + f'(p)=0, que ao resolver para p em função de x fornece a solução singular p(x) = l(f'r)^-1(-x), y = x,p(x) + fl(p(x)r)

Passo 3

Caso a) f(p)=1-ln(p).
– Solução geral: y = c,x + 1 - ln(c).
– Para a singular resolvemos
x + f'(p)=0 Longrightarrow x - 1p=0 Longrightarrow p=1x
Substituindo em y=xp+1-ln(p) obtém-se
y = xcdot1x + 1 - ln!l(tfrac1xr) = 1 + 1 + ln(x) = 2 + ln(x)

Passo 4

Caso b) f(p)=p^-2.
– Solução geral: y = c,x + c^-2.
– Para a singular resolvemos
x + f'(p)=0 Longrightarrow x - 2p^-3=0 Longrightarrow p=l(2xr)^!1/3
Então
y = x,p + p^-2 = xl(tfrac2xr)^!1/3 + l(tfrac2xr)^-2/3 =2^1/3x^2/3 + 2^-2/3x^2/3 =3cdot2^-2/3,x^2/3

Passo 5

Caso c) escrevemos y = x,p + ln(p), isto é f(p)=ln(p).
– Solução geral: y = c,x + ln(c).
– Para a singular resolvemos
x + f'(p)=0 Longrightarrow x + 1p=0 Longrightarrow p=-1x,
que só faz sentido real para x<0. Substituindo em y=xp+ln(p) vem
y = xl(-1xr) + ln!l(-1xr) = -1 + ln!l(tfrac1-xr) = -1 - ln(-x)

Resposta

a) Solução geral:
y = c,x + 1 - ln(c),
solução singular:
y = 2 + ln(x)
b) Solução geral:
y = c,x + c^-2,
solução singular:
y = 3cdot2^-2/3,x^2/3
c) Solução geral:
y = c,x + ln(c),
solução singular (para x<0):
y = -1 - ln(-x)

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