Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
é uma família de retas da forma
, em que
é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado trata da equação de Clairaut
e pede para mostrar que a solução geral é uma família de retas
com parâmetro
, e ainda encontrar a solução singular (a envoltória dessas retas). Em seguida, aplicar esse método aos casos
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Passo 2
Começamos escrevendo
e
Diferenciando ambos os lados em relação a
dá
Como
, isso implica
Dessa equação saem duas possibilidades:
-
, ou seja constante, gerando a família de retas -
, que ao resolver para em função de fornece a solução singular
Passo 3
Caso a)
.
– Solução geral: .
– Para a singular resolvemos
– Solução geral:
– Para a singular resolvemos
Substituindo em
obtém-se
Passo 4
Caso b)
.
– Solução geral: .
– Para a singular resolvemos
– Solução geral:
– Para a singular resolvemos
Então
Passo 5
Caso c) escrevemos
, isto é
.
– Solução geral: .
– Para a singular resolvemos
– Solução geral:
– Para a singular resolvemos
que só faz sentido real para
. Substituindo em
vem
Resposta
a) Solução geral:
solução singular:
b) Solução geral:
solução singular:
c) Solução geral:
solução singular (para
):