Resolva as seguintes edos, utilizando as substituições dadas.
)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + 2x,y = y^3x^3
usando a substituição v = y^-2. Trata-se de uma equação de Bernoulli com expoente n=3, que transformaremos numa equação linear para v(x).

Passo 2

Começamos calculando v' em função de y e y'. Como
v = y^-2,
temos
dvdx = -2,y^-3,dydx

Passo 3

Multiplicamos a equação original por y^-3 para introduzir v':
y^-3y' + 2x,y^-2 = 1x^3
Substituindo y^-3y' = -tfrac12 v' e y^-2=v obtemos
-tfrac12,v' + 2x,v = 1x^3
Multiplicando tudo por -2 dá a equação linear
v' - 4x,v = -2x^3

Passo 4

Para resolver
v' - 4x,v = -2x^3
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -tfrac4x,dxr) = x^-4
Multiplicando ambos os lados por x^-4 vem
l(x^-4vr)' = -2,x^-7
Integrando em x:
x^-4v = integral -2,x^-7,dx = 13,x^-6 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando v:
v = x^4l(tfrac13x^-6 + Cr) = 13,x^-2 + C,x^4

Passo 6

Voltando à variável y, lembramos que v=y^-2. Logo
y^-2 = C,x^4 + 13,x^-2
Inverte-se para obter
y^2 = 1C,x^4 + tfrac13,x^-2 = 3,x^23C,x^6 + 1,
de onde a solução geral fica
y(x) = pm,x;raiz33C,x^6 + 1

Resposta

A solução geral da EDO é
y^-2 = C,x^4 + 13,x^-2,
ou, explicitamente,
y(x) = pm,x;raiz33C,x^6 + 1,
com C constante arbitrária.

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