Qual a equação do conjunto de pontos (x, y) que são equidistantes da reta y=3 e do ponto (0,0) ? (Resp.: x^2+6y-9=0.)

Passo 1

O enunciado pede a curva formada pelos pontos (x,y) cuja distância ao ponto (0,0) é igual à distância à reta y=3. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar as fórmulas de distância de um ponto a outro e de um ponto a uma reta.

Passo 2

A distância de (x,y) ao ponto (0,0) é dada por
dponto = raizx^2+y^2
A distância de (x,y) à reta y=3 (que em forma geral é 0cdot x +1cdot y -3=0) é
dreta = lvert 0cdot x + 1cdot y -3rvertraiz0^2+1^2 = lvert y-3rvert

Passo 3

Igualando as duas distâncias:
raizx^2+y^2 ;=;lvert y-3rvert
Para eliminar o valor absoluto e a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado.

Passo 4

Ao quadrar, obtemos
x^2+y^2 = (y-3)^2 = y^2 -6y +9
Cancelando y^2 dos dois lados e rearranjando,
x^2 +6y -9 = 0

Resposta

A equação do lugar geométrico é
x^2 + 6y - 9 = 0

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