a equação sen alpha=3 x+24 x-3, o conjunto de todos os valores de x in square
para os quais a equação tenha solução real é:

Passo 1

O enunciado dá a equação
sinalpha = 3x+24x-3
Para que exista solução real alpha, o valor à direita precisa pertencer ao intervalo [-1,1] e o denominador não pode ser zero. Vamos impor
-1 <= 3x+24x-3 <= 1
e 4x-3neq 0.

Passo 2

Começamos resolvendo a parte
3x+24x-3 >= -1
Passo 1: somamos 1 a ambos os lados:
3x+24x-3 + 1 >= 0 Longrightarrow 3x+2 + (4x-3)4x-3 >= 0 Longrightarrow 7x-14x-3 >= 0
Agora analisamos o sinal do quociente 7x-14x-3. Zeros de numerador e denominador são x=tfrac17 e x=tfrac34. O quociente é não negativo em
(-infty,tfrac17];cup;(tfrac34,infty)

Passo 3

Agora resolvemos
3x+24x-3 <= 1
Subtraímos 1:
3x+24x-3 - 1 <= 0 Longrightarrow 3x+2 - (4x-3)4x-3 <= 0 Longrightarrow -x+54x-3 <= 0,
ou seja
5 - x4x-3 <= 0
Os zeros são x=5 e x=tfrac34. O quociente é não positivo em
(-infty,tfrac34);cup;[5,infty)

Passo 4

Intersectamos as duas soluções, lembrando que xneq tfrac34.
(-infty,tfrac17]cup(tfrac34,infty) cap (-infty,tfrac34)cup[5,infty) ;=; (-infty,tfrac17];cup;[5,infty)

Resposta

(-infty,tfrac17] ;cup; [5,infty)

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