Utilizando a fórmula de derivação implícita, determine d yd x.
cos (x-y)=x e^y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita cos(x - y) = x e^y e pede tfracdydx. Para resolver, vamos usar derivação implícita, aplicando regra da cadeia em cos(x-y) e regra do produto em x e^y.

Passo 2

Derivando os dois lados em relação a x: o lado esquerdo dá
ddxl[cos(x-y)r] = -sin(x-y),ddx(x-y) = -sin(x-y)l(1 - tfracdydxr),
e o lado direito, pela regra do produto,
ddxl[x e^yr] = e^y + x e^y,dydx
Portanto a igualdade das derivadas é
-sin(x-y)l(1 - tfracdydxr) = e^y + x e^y,tfracdydx

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e agrupando os termos com tfracdydx:
-sin(x-y) + sin(x-y),tfracdydx = e^y + x e^y,tfracdydx
Passamos os termos com tfracdydx para um lado e os demais para o outro:
sin(x-y),tfracdydx - x e^y,tfracdydx = e^y + sin(x-y)

Passo 4

Fatorando tfracdydx no lado esquerdo e isolando:
tfracdydx,l(sin(x-y) - x e^yr) = e^y + sin(x-y),
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tfracdydx = e^y + sin(x-y)sin(x-y) - x e^y

Resposta

dydx = e^y + sin(x - y)sin(x - y) - x e^y

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