Usando as identidades trigonométricas adequadas e simplificando a expressão E=(1-sec ^2 x) cdot(1-cossec^2 x)(tg^2 x-sen^2 x) cdot(cot ^2 x-cos ^2 x)-sec ^2 x, encontraremos para E o seguinte valor:

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
E=l(1-sec^2xr),l(1-csc^2xr)l(tan^2x-sin^2xr),l(cot^2x-cos^2xr)-sec^2x
e pede para simplificá-la. Vamos usar as identidades trigonométricas
sec^2x=1+tan^2x, csc^2x=1+cot^2x, tan x=dfracsin xcos x e cot x=dfraccos xsin x.

Passo 2

Simplificamos o numerador usando
1-sec^2x=-(sec^2x-1)=-tan^2x e 1-csc^2x=-(csc^2x-1)=-cot^2x
Logo,
(1-sec^2x)(1-csc^2x) =(-tan^2x)(-cot^2x) =tan^2x,cot^2x =1

Passo 3

Agora o denominador:
tan^2x-sin^2x =sin^2xcos^2x-sin^2x =sin^2xl(1cos^2x-1r) =sin^2xcdotsin^2xcos^2x =sin^4xcos^2x,
cot^2x-cos^2x =cos^2xsin^2x-cos^2x =cos^2xl(1sin^2x-1r) =cos^2xcdotcos^2xsin^2x =cos^4xsin^2x
Multiplicando:
(tan^2x-sin^2x)(cot^2x-cos^2x) =sin^4xcos^2x,cos^4xsin^2x =sin^2x,cos^2x

Passo 4

Substituindo em E temos
E=1sin^2x,cos^2x-sec^2x =1sin^2x,1cos^2x-sec^2x =csc^2x,sec^2x-sec^2x =sec^2xl(csc^2x-1r)
Como csc^2x-1=cot^2x, resulta
E=sec^2x,cot^2x =1cos^2x,cos^2xsin^2x =1sin^2x =csc^2x

Resposta

E=csc^2x

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