A equação de demanda de um produto é
. c) Ache a receita marginal
, e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.
Passo 1
O enunciado dá a curva de demanda do produto, que é a relação preço–quantidade:
. O que queremos nesta parte é achar a receita marginal, ou seja, a derivada da receita
em relação a
, e depois mostrar que essa função derivada é sempre decrescente e não é a função zero.
Passo 2
Para montar a receita, lembramos que
. Substituindo
obtemos
Passo 3
Agora derivamos
para achar a receita marginal:
Passo 4
Para ver que
é sempre decrescente, calculamos a segunda derivada:
Como
, segue
. Logo,
é estritamente decrescente.
Passo 5
Por fim, verificamos se há ponto em que
. Resolvendo:
Ou seja, existe exatamente um
em que a receita marginal se anula, mas essa é uma solução pontual. Em geral, como função de
,
não é identicamente zero e varia continuamente de
(quando
) a
(quando
), mantendo-se estritamente decrescente.
Passo 6
Concluímos que
é uma função estritamente decrescente e não é a função nula.
Resposta
R_{mg}(x)=25-5\ln x, que é estritamente decrescente (pois R’’(x)=-5/x<0) e não é identicamente zero.