A equação de demanda de um produto é p=30-5 ln x. c) Ache a receita marginal Rmg(x), e mostre que ela é sempre decrescente, mas nunca se anula.

Passo 1

O enunciado dá a curva de demanda do produto, que é a relação preço–quantidade: p=30-5ln x. O que queremos nesta parte é achar a receita marginal, ou seja, a derivada da receita R(x) em relação a x, e depois mostrar que essa função derivada é sempre decrescente e não é a função zero.

Passo 2

Para montar a receita, lembramos que R(x)=xcdot p(x). Substituindo p(x)=30-5ln x obtemos
R(x)=xl(30-5ln xr)=30x-5xln x

Passo 3

Agora derivamos R(x) para achar a receita marginal:
Rmg(x)=R'(x)=ddxl(30x-5xln xr)=30-5l(ln x+1r)=25-5ln x

Passo 4

Para ver que Rmg(x) é sempre decrescente, calculamos a segunda derivada:
Rmg'(x)=R''(x)=ddx(25-5ln x)=-5cdot1x=-5x
Como x>0, segue R''(x)<0. Logo, Rmg(x) é estritamente decrescente.

Passo 5

Por fim, verificamos se há ponto em que Rmg(x)=0. Resolvendo:
25-5ln x=0impliesln x=5implies x=e^5
Ou seja, existe exatamente um x em que a receita marginal se anula, mas essa é uma solução pontual. Em geral, como função de x, Rmg(x) não é identicamente zero e varia continuamente de +infty (quando xto0^+) a -infty (quando xto+infty), mantendo-se estritamente decrescente.

Passo 6

Concluímos que Rmg(x)=25-5ln x é uma função estritamente decrescente e não é a função nula.

Resposta

R_{mg}(x)=25-5\ln x, que é estritamente decrescente (pois R’’(x)=-5/x<0) e não é identicamente zero.

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