Uma equação diferencial de Bernoulli é uma equação da forma
\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^{n}
Observe que, se n=0 ou 1 , a equação de Bernoulli é linear. Para outros valores de n, mostre que a substituição u=y^{1-n} transforma a equação de Bernoulli na equação linear
\frac{d u}{d x}+(1-n) P(x) u=(1-n) Q(x)

Passo 1

O enunciado trata da equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde n\neq0,1. A tarefa é mostrar que, com a substituição
u = y^{1-n},
obtém-se uma equação linear em u. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar u e depois substituir na equação original.

Passo 2

Definimos
u = y^{1-n}.
Aplicando a regra da cadeia, temos
\frac{du}{dx} = (1-n)\,y^{-n}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Da expressão anterior isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n}\,y^{n}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituímos \frac{dy}{dx} na equação de Bernoulli:
\frac{1}{1-n}\,y^{n}\,\frac{du}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Multiplicando toda a equação por (1-n)\,y^{-n}, obtemos
\frac{du}{dx} + (1-n)\,P(x)\,y^{1-n} = (1-n)\,Q(x).
Mas y^{1-n}=u, logo
\frac{du}{dx} + (1-n)\,P(x)\,u = (1-n)\,Q(x).

Resposta

\frac{du}{dx} + (1-n)\,P(x)\,u = (1-n)\,Q(x).

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