Use o método do Exercício 9 para resolver a equação diferencial.
a) x y^{\prime}+y=-x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' + y = -x\,y^{2}
Esse é um caso de equação de Bernoulli de ordem 1, pois pode ser escrita na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com n=2. Vamos usar o método-padrão de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por x (supondo x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = -y^{2}.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a substituição
u = y^{1-n} = y^{-1}.
Então
u' = -\,\frac{y'}{y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y' = -\,y^{2}\,u'.
Substituindo em
y' + \frac{1}{x}\,y = -y^{2}
vem
-y^{2}u' + \frac{1}{x}\,y = -y^{2}.
Dividindo por y^{2} e usando u=1/y
-u' + \frac{1}{x}\,u = -1
ou seja
u' - \frac{1}{x}\,u = 1,
que é uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 4

Para resolver
u' - \frac{1}{x}\,u = 1
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
x^{-1}u' - x^{-2}u = x^{-1},
que é
\frac{d}{dx}\Bigl(u\,x^{-1}\Bigr) = \frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
u\,x^{-1} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
Logo
u = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Passo 5

Voltando à variável y usando u=1/y, temos
\frac{1}{y} = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr)}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr)},
onde C é a constante de integração.

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