Resolva o problema de valor inicial.
i) x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x, \t y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
x\,y' + 2\,y = \sin x,
com a condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
O conteúdo é “EDO linear” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\sin x}{x},
dividindo por x (considerando x\neq0).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|x|\bigr) = x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação por x^2 obtemos
x^2 y' + 2x\,y = x \sin x,
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada
(x^2 y)' = x\sin x.
Integrando ambos os lados:
x^2 y = \int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 5

Logo
y = \frac{-x\cos x + \sin x + C}{x^2}.
Usando y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1:
1 = \frac{-\tfrac{\pi}{2}\cos(\tfrac{\pi}{2}) + \sin(\tfrac{\pi}{2}) + C}{(\tfrac{\pi}{2})^2} = \frac{0 + 1 + C}{\pi^2/4} = \frac{1+C}{\pi^2/4},
portanto 1+C = \pi^2/4 e
C = \frac{\pi^2}{4} - 1.

Passo 6

Substituindo C em y:
y(x) = \frac{-x\cos x + \sin x + \bigl(\tfrac{\pi^2}{4}-1\bigr)}{x^2} = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^2} + \frac{\tfrac{\pi^2}{4}-1}{x^2}.

Resposta

y(x) = -\frac{\cos x}{x} \;+\; \frac{\sin x}{x^2} \;+\; \frac{\tfrac{\pi^2}{4}-1}{x^2}.

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