Resolva o problema de valor inicial.
j) y^{\prime}=x+y, \t y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = x + y,\quad y(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem linear. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' - y = x.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por \mu(x), obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = x\,e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = x\,e^{-x}.

Passo 4

Integramos em x:
e^{-x}y = \int x\,e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C.
Multiplicando por e^{x}, vem
y = -(x+1) + C\,e^{x}.
Para determinar C, usamos y(0)=1:
1 = -(0+1) + C\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad 1 = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Resposta

y(x) = 2e^{x} - x - 1.

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