A equação diferencial
d Vd t=lambda e^-alpha t V
tem sido considerada para modelar o crescimento de certos organismos, onde V(t) corresponde a número de celulas do organismo no tempo t e alpha e lambda são constantes positivas. O número de células deste organismo pode se tornar arbitrariamente grande? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dVdt = lambda e^-alpha t V
onde V(t) é o número de células e lambda,alpha>0. Pergunta-se se V(t) pode crescer sem limite. Para responder vamos resolver a equação (método de variáveis separáveis) e analisar o limite quando ttoinfty.

Passo 2

Separamos as variáveis V e t:
integral dVV ;=;lambda integral e^-alpha t,dt

Passo 3

Calculamos as integrais. À esquerda vem
integral dVV = ln V + C1,
à direita
integral e^-alpha tdt = -1alphae^-alpha t + C2
Igualando e absorvendo constantes em C obtemos
ln V = -lambdaalphae^-alpha t + C

Passo 4

Exponenciando, definindo K=e^C>0, resulta
V(t) = K expl(-tfraclambdaalphae^-alpha tr)

Passo 5

Usamos a condição inicial V(0)=V0:
V0 = K,expl(-tfraclambdaalphar) Longrightarrow K = V0,expl(tfraclambdaalphar)
Logo a solução completa é
V(t)=V0exp!l(tfraclambdaalphal(1-e^-alpha tr)r)

Passo 6

Para ttoinfty temos e^-alpha tto0, então
limttoinftyV(t) =V0exp!l(tfraclambdaalphar),
que é um valor finito.

Resposta

Não. O número de células tende a
V0exp!l(tfraclambdaalphar)
quando ttoinfty, portanto não cresce arbitrariamente.

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