Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma
, onde
e
são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo
. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é reconhecer homogeneidade (grau 2 em
) e usar a mudança de variável
para reduzir a uma equação de variáveis separáveis.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita de
:
dividindo numerador e denominador por
confirma que ambos são homogêneos de grau 2:
Passo 3
Aplicando
e
obtemos
Passo 4
Isolando
e separando variáveis:
logo
Passo 5
Integramos ambos os lados. Para a parte em
fazemos frações parciais:
Assim
Passo 6
Calculando as integrais:
Reorganizando e exponenciando, fica
Passo 7
Voltando à
com
:
Resposta
onde
é constante arbitrária.