Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma y^prime=f(x, y)g(x, y), onde f(x, y) e g(x, y) são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo v=yx. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
4 x^2-x y+y^2=y^prime(x y-x^2-4 y^2),

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea
4x^2-xy+y^2=y'l(xy - x^2-4y^2r)
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é reconhecer homogeneidade (grau 2 em x,y) e usar a mudança de variável
v=yx, y'=v + xdvdx
para reduzir a uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de y':
y'=4x^2-xy+y^2,xy - x^2-4y^2,
dividindo numerador e denominador por x^2 confirma que ambos são homogêneos de grau 2:
y'=4 - v + v^2,v -1 -4v^2,

Passo 3

Aplicando y=v x e y'=v + xdvdx obtemos
v + xdvdx =4 - v + v^2,v -1 -4v^2,

Passo 4

Isolando dvdx e separando variáveis:
xdvdx =4 - v + v^2,v -1 -4v^2,-v =4(1+v^3),v -1 -4v^2,,
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v -1 -4v^2,1+v^3,,dv=4,dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para a parte em v fazemos frações parciais:
-4v^2+v-11+v^3 =-2v+1+-2v+1,v^2-v+1,
Assim
integralv -1 -4v^21+v^3,dv =-2integraldvv+1 -2integralv-tfrac12v^2-v+1,dv

Passo 6

Calculando as integrais:
-2ln|v+1| -lnl(v^2-v+1r) =4ln|x|+C
Reorganizando e exponenciando, fica
(v+1)^2l(v^2-v+1r),x^4=K

Passo 7

Voltando à y com v=y/x:
l(tfracyx+1r)^2 l(l(tfracyxr)^2-tfracyx+1r)x^4 =(y+x)^2(y^2-xy+x^2)=K

Resposta

(y + x)^2,(y^2-x,y+x^2)=C,
onde C é constante arbitrária.

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