Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma y^prime=f(x, y)g(x, y), onde f(x, y) e g(x, y) são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo v=yx. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
4 x-3 y+y^prime(2 y-3 x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a e.d.o. homogênea
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
usando a mudança de variável v = y/x para transformá-la em uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro isolamos y′. Da equação
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
vemos que
y' ;=; 3y - 4x2y - 3x

Passo 3

Definimos v = y/x. Então y = vx e
y' = dydx = v + x,dvdx

Passo 4

Substituímos y e y′ na expressão de y′:
v + xdvdx = 3(vx) - 4x2(vx) - 3x = 3v - 42v - 3

Passo 5

Isolamos x dv/dx:
xdvdx = 3v - 42v - 3 - v = -2(v - 1)(v - 2)2v - 3

Passo 6

Agora separamos variáveis:
2v - 3(v - 1)(v - 2),dv = -2dxx

Passo 7

Fazemos frações parciais em (2v-3)/((v-1)(v-2)) = 1/(v-1) + 1/(v-2) e integramos:
integrall(1v-1+1v-2r)dv = integral -2dxx
que dá
ln|v-1| + ln|v-2| = -2ln|x| + C

Passo 8

Voltando a y via v = y/x e eliminando logaritmos:
(v - 1)(v - 2) = Cx^-2
portanto
l( yx -1r)l( yx -2r) = Cx^-2
o que equivale à forma mais simples
(y - x)(y - 2x) = C

Resposta

(y - x)(y - 2x) = C

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