Uma equação diferencial se diz homogênea se é da forma
, onde
e
são funções homogêneas do mesmo grau. Toda equação homogênea pode ser reduzida a uma e.d.o de variáveis separáveis introduzindo uma mudança de variáveis do tipo
. Resolva as seguintes e.d.o. homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a e.d.o. homogênea
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
usando a mudança de variável v = y/x para transformá-la em uma equação de variáveis separáveis.
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
usando a mudança de variável v = y/x para transformá-la em uma equação de variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro isolamos y′. Da equação
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
vemos que
4x – 3y + y′(2y – 3x) = 0
vemos que
Passo 3
Definimos v = y/x. Então y = vx e
Passo 4
Substituímos y e y′ na expressão de y′:
Passo 5
Isolamos x dv/dx:
Passo 6
Agora separamos variáveis:
Passo 7
Fazemos frações parciais em (2v-3)/((v-1)(v-2)) = 1/(v-1) + 1/(v-2) e integramos:
que dá
Passo 8
Voltando a y via v = y/x e eliminando logaritmos:
portanto
o que equivale à forma mais simples