Suponha que o valor y foi investido numa conta de poupança na qual os juros são continuamente capitalizados numa taxa constante de 5.5 % ao ano. A equação y^prime=k y descreve a taxa de crescimento do montante investido, onde k é a taxa de juros. Se R foram inicialmente investidos, qual é o montante após 3 anos?

Passo 1

O conteúdo da questão é equações diferenciais de 1ª ordem e crescimento exponencial. Temos um investimento inicial de R$5000 com juros continuamente capitalizados à taxa de 5,5% ao ano, o que dá a EDO 5000 com juros continuamente capitalizados à taxa de 5,5% ao ano, o que dá a EDO com com e condição inicial e condição inicial . Precisamos encontrar $y(3).

Passo 2

Para resolver y' = k,y, usamos separação de variáveis, escrevendo
1y,dy = k,dt
e integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral k,dt Rightarrow ln y = k,t + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=5000 em ln y = k,t + C, substituindo t=0 e y=5000, o que dá
ln 5000 = C
Logo, a solução geral é
ln y = k,t + ln 5000 Rightarrow y(t) = 5000,e^k,t

Passo 4

Substituindo t=3 e k=0,055 em y(t), vem
y(3) = 5000,e^0,055times3 = 5000,e^0,165

Passo 5

Para ter um valor numérico aproximado, usamos e^0,165approx 1,179345. Assim,
y(3) approx 5000 times 1,179345 approx 5896,73

Resposta

O montante após 3 anos é y(3) = 5000,e^0,165 approx R.

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