3.4 A equação diferencial
ft=f-x fx-x^2 fx x
é um exemplo da famosa equação de Black-Scholes. Aqui f(x, t) é o preço de uma opção de compra, x o preço da ação e t o tempo. Verifique que f(x, t)=e^t ln (x) resolve esta equação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função candidata f(x,t)=e^tln(x) satisfaz a equação de Black–Scholes ft=f - x fx - x^2fxx. Vamos precisar conhecer e aplicar as definições de derivadas parciais em relação a t e x.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de f em relação ao tempo t. Como ln(x) é tratada como constante quando derivamos em t, temos:
ft = partialpartial tl(e^t ln(x)r) = e^t ln(x)

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais em relação a x. Tratando e^t como constante:
fx = partialpartial xl(e^t ln(x)r) = e^t cdot 1x,
fxx = partialpartial xl(e^t cdot 1xr) = e^t cdot l(-1x^2r) = -e^t1x^2

Passo 4

Agora substituímos f, fx e fxx no lado direito da equação:
f - x fx - x^2fxx = e^tln(x) - x l(e^t1xr) - x^2l(-e^t1x^2r)
Desenvolvendo:
= e^tln(x) - e^t + e^t = e^tln(x)
Isso coincide exatamente com ft=e^tln(x).

Resposta

Como os dois lados da equação coincidem, concluímos que f(x,t)=e^tln(x) é de fato solução da equação diferencial dada.

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