3.4 A equação diferencial
é um exemplo da famosa equação de Black-Scholes. Aqui
é o preço de uma opção de compra,
o preço da ação e
o tempo. Verifique que
resolve esta equação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função candidata
satisfaz a equação de Black–Scholes
. Vamos precisar conhecer e aplicar as definições de derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
. Como
é tratada como constante quando derivamos em
, temos:
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas parciais em relação a
. Tratando
como constante:
Passo 4
Agora substituímos
,
e
no lado direito da equação:
Desenvolvendo:
Isso coincide exatamente com
.
Resposta
Como os dois lados da equação coincidem, concluímos que
é de fato solução da equação diferencial dada.