Questão 4. (2,5 pontos)
Determine a área delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante do plano
.
Solução:
Vamos primeiro expressar a equação da curva
em coordenadas polares:
Simplificando, temos:
Com isso podemos podemos calcular tal área com a seguinte integral dupla:
Vamos primeiro expressar a equação da curva
Passo 1
O problema pede a área no primeiro quadrante limitada pelas curvas x²+y²=2x e r=2+cos(θ). Vamos usar coordenadas polares e a fórmula da área por integral dupla.
Passo 2
Em coordenadas polares, x²+y²=2x fica (r
cosθ)²+(r
senθ)²=2r
cosθ, que simplifica para r²=2r
cosθ e, como r≠0, temos r=2
cosθ.
cosθ)²+(r
senθ)²=2r
cosθ, que simplifica para r²=2r
cosθ e, como r≠0, temos r=2
cosθ.
Passo 3
No primeiro quadrante θ varia de 0 a π/2. Para cada θ, a região vai de r_inferior=2
cosθ (da primeira curva) até r_superior=2+cosθ (da segunda).
cosθ (da primeira curva) até r_superior=2+cosθ (da segunda).
Passo 4
Escrevemos a área como
$$A=\int_{0}{\pi/2}\int_{2\cosθ}{2+\cosθ}r,dr,dθ=\int_{0}{\pi/2}\Bigl[\frac{r2}{2}\Bigr]_{2\cosθ}^{2+\cosθ}dθ
=\frac12\int_{0}{\pi/2}\bigl((2+\cosθ)2-(2\cosθ)^2\bigr)dθ.$$
Passo 5
Expandindo e simplificando o integrando:
Então
Passo 6
Para integrar usamos cos²θ=(1+cos2θ)/2:
$$\int(4+4\cosθ-3\cos^2θ)dθ=4θ+4\sinθ-\frac{3}{2}\int(1+\cos2θ)dθ=4θ+4\sinθ-\frac{3}{2}\Bigl(θ+\frac{\sin2θ}{2}\Bigr).
Resposta
A área pedida é
unidades de área.