Questão 4. (2,5 pontos)

Determine a área delimitada pelas curvas x^2+y^2=2 x e r=2+cos (theta) no primeiro quadrante do plano x y.
Solução:
Vamos primeiro expressar a equação da curva x^2+y^2=2 x em coordenadas polares:
(r cos (theta))^2+(r sen(theta))^2=2 r cos (theta)
Simplificando, temos:
r^2 & =2 r cos (theta) r & =2 cos (theta)
Com isso podemos podemos calcular tal área com a seguinte integral dupla:
A=integral0^pi / 2 d theta integral2 cos (theta)^2+cos (theta) r d r A=integral0^pi / 2 d theta[r^22]2 cos (theta)^2+cos (theta) A=12 integral0^pi / 2 d theta[4+4 cos (theta)+cos ^2(theta)-4 cos ^2(theta)] A=12 integral0^pi / 2 d theta[4+4 cos (theta)-3 cos ^2(theta)] A=[2 theta+2 sen(theta)]0^pi / 2-32 integral0^pi / 2 d theta cos ^2(theta) A=pi+2 sen(pi / 2)-32 integral0^pi / 2 d theta[12+cos ^( (2 theta)2] A=pi+2-32[theta2+sen(2 theta)4]0^pi / 2 A=pi+2-3 pi8-32 sen(pi)4 A=2+5 pi8 ua

Passo 1

O problema pede a área no primeiro quadrante limitada pelas curvas x²+y²=2x e r=2+cos(θ). Vamos usar coordenadas polares e a fórmula da área por integral dupla.

Passo 2

Em coordenadas polares, x²+y²=2x fica (r
cosθ)²+(r
senθ)²=2r
cosθ, que simplifica para r²=2r
cosθ e, como r≠0, temos r=2
cosθ.

Passo 3

No primeiro quadrante θ varia de 0 a π/2. Para cada θ, a região vai de r_inferior=2
cosθ (da primeira curva) até r_superior=2+cosθ (da segunda).

Passo 4

Escrevemos a área como
$$A=\int_{0}{\pi/2}\int_{2\cosθ}{2+\cosθ}r,dr,dθ=\int_{0}{\pi/2}\Bigl[\frac{r2}{2}\Bigr]_{2\cosθ}^{2+\cosθ}dθ
=\frac12\int_{0}{\pi/2}\bigl((2+\cosθ)2-(2\cosθ)^2\bigr)dθ.$$

Passo 5

Expandindo e simplificando o integrando:
(2+cosθ)^2-(2cosθ)^2=4+4cosθ+cos^2θ-4cos^2θ=4+4cosθ-3cos^2θ
Então
A=12integral0^pi/2(4+4cosθ-3cos^2θ),dθ

Passo 6

Para integrar usamos cos²θ=(1+cos2θ)/2:
$$\int(4+4\cosθ-3\cos^2θ)dθ=4θ+4\sinθ-\frac{3}{2}\int(1+\cos2θ)dθ=4θ+4\sinθ-\frac{3}{2}\Bigl(θ+\frac{\sin2θ}{2}\Bigr).
integral(4+4cosθ-3cos^2θ)dθ=4θ+4sinθ-32integral(1+cos2θ)dθ=4θ+4sinθ-32l(θ+sin2θ2r) A=2+\frac{5\pi}{8}.$$

Resposta

A área pedida é 2+5pi8 unidades de área.

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