Um fio ao longo do eixo z transporta uma corrente I. O potencial vetorial magnético é dado por
A=mu I2 pi ln (1rho) k
Mostre que a indução magnética é B=mu I2 pi rho theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o potencial vetorial magnético de um fio infinito ao longo do eixo z
A=mu I2pilnl(tfrac1rhor),k,
podemos obter a indução magnética B=nablatimesA. O conteúdo envolve o cálculo do rotacional em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

O potencial vetorial só tem componente no eixo z, ou seja,
Arho=0, Atheta=0, Az=mu I2pilnl(tfrac1rhor)

Passo 3

O rotacional em coordenadas cilíndricas é dado por:
(nablatimesA)rho=1rhopartial Azpartialtheta-partial Athetapartial z,
(nablatimesA)theta=partial Arhopartial z-partial Azpartialrho,
Como (nablatimesA)z=1rhol[partialpartialrho(rho Atheta)-partial Arhopartialtheta)r] , só resta calcular a componente Arho=Atheta=0.

Passo 4

A partir de Az=-mu I2pilnrho (pois ln(1/rho)=-lnrho), temos
partial Azpartialrho=-mu I2picdot1rho
Logo,
(nablatimesA)theta=-partial Azpartialrho=mu I2pirho

Passo 5

Como as componentes ρ e z são nulas, concluímos que
B=mu I2pirho,boldsymboltheta

Resposta

B=mu I2 pi rhoboldsymboltheta

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