Nos exercícios 47. e 48., faça as substituições indicadas e resolva a equação diferencial.
y^prime sen y=cos x(2 cos y-sen^2 x) ; u=cos y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' sin y = cos xl(2cos y - sin^2 xr)
fazendo a substituição u=cos y. Vamos transformar a equação em uma EDO linear em u(x).

Passo 2

Como u=cos y, temos
dudx = -,y'sin y
e portanto
y'sin y = -dudx
Substituindo em
y'sin y = cos xl(2u - sin^2 xr)
vem
-dudx = cos xl(2u - sin^2 xr)

Passo 3

Reescrevendo, obtemos a EDO linear em u:
dudx + 2cos x ,u = cos x,sin^2 x
Aqui P(x)=2cos x e Q(x)=cos x,sin^2 x.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 2cos x,dxr) = e^2sin x
Multiplicando a EDO por mu temos
ddxl(u,e^2sin xr) = e^2sin xcos x,sin^2 x

Passo 5

Integramos em x:
u,e^2sin x = integral e^2sin xcos x,sin^2 x,dx + C
Fazendo t=sin x, dt=cos x,dx, o integral vira
integral t^2 e^2t,dt = e^2tl(tfrac12t^2-tfrac12t+tfrac14r)+C
Voltando a x:
u,e^2sin x = e^2sin xl(tfrac12sin^2 x-tfrac12sin x+tfrac14r)+C

Passo 6

Dividindo por e^2sin x e lembrando u=cos y, obtemos a solução geral em forma implícita:
cos y = tfrac12sin^2 x - tfrac12sin x + tfrac14 + C,e^-2sin x

Resposta

cos y = 12sin^2 x - 12sin x + 14 + C,e^-2sin x

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