Uma equação diferencial parcial (E.D.P.) é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função z=f(x, y).
A equação da onda é a E.D.P.
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
em que a é uma constante real. Mostre que a função u(x, t)=sen(x-a t) satisfaz a equação da onda. As soluções desta E.D.P. descrevem o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2
e pede para mostrar que
u(x,t)=sen(x - a,t)
é solução. Para isso, vamos aplicar derivadas parciais e usar a regra de cadeia.

Passo 2

Defina
phi = x - a,t,
de modo que u(x,t)=sen(phi).
Para calcular partial u/partial x, usamos a regra de cadeia:
partial upartial x = cos(phi),partial phipartial x = cos(phi)cdot 1 = cos(phi)
Aplicando mais uma vez em partial^2u/partial x^2:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial xl[cos(phi)r] = -sin(phi),partial phipartial x = -sin(phi)

Passo 3

Agora calcule partial u/partial t. Como partial phi/partial t=-a,
partial upartial t = cos(phi),partial phipartial t = cos(phi),(-a) = -a,cos(phi)
Para partial^2u/partial t^2:
partial^2 upartial t^2 = partialpartial tl[-a,cos(phi)r] = -a;l[-sin(phi),partial phipartial tr] = -a;[-sin(phi),(-a)] = -a^2,sin(phi)

Passo 4

Repare que
partial^2 upartial t^2 = -a^2,sin(phi) e partial^2 upartial x^2 = -sin(phi)
Logo
partial^2 upartial t^2 = a^2,partial^2 upartial x^2,
ou seja, u(x,t)=sen(x - a,t) satisfaz exatamente a equação da onda.

Resposta

A função u(x,t)=sen(x - a,t) satisfaz !utt=a^2,uxx, logo é solução da equação da onda.

Exercícios relacionados