Uma equação diferencial parcial (E.D.P.) é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função
.
A equação da onda é a E.D.P.
em que
é uma constante real. Mostre que a função
satisfaz a equação da onda. As soluções desta E.D.P. descrevem o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante.
A equação da onda é a E.D.P.
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
e pede para mostrar que
é solução. Para isso, vamos aplicar derivadas parciais e usar a regra de cadeia.
Passo 2
Defina
de modo que
.
Para calcular , usamos a regra de cadeia:
Para calcular
Aplicando mais uma vez em
:
Passo 3
Agora calcule
. Como
,
Para
:
Passo 4
Repare que
Logo
ou seja,
satisfaz exatamente a equação da onda.
Resposta
A função
satisfaz
, logo é solução da equação da onda.