Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
sumi=0^+infty(-1)^n^23^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
Temos a série
sumn=0^infty(-1)^nn^23^n
O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas e, em particular, queremos saber se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos precisar do teste da razão aplicado à série de valores absolutos.

Passo 2

Vamos olhar a série formada pelos valores absolutos dos termos. Como l|(-1)^nn^23^nr|=n^23^n, consideramos
sumn=0^inftyn^23^n
Aplicamos o teste da razão: seja an=n^23^n. Então
an+1an =(n+1)^2/3^n+1n^2/3^n =(n+1)^2n^2cdot13 xrightarrow[ntoinfty]13
Como esse limite é menor que 1, a série sum an converge.

Passo 3

Se a série de valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente. Logo concluímos que
sumn=0^infty(-1)^nn^23^n
é absolutamente convergente, e portanto convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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