Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
Passo 1
O enunciado pede para estudar a equação diferencial
obtendo (1) o campo de direções num software (por exemplo Desmos), (2) a solução geral analítica e (3) algumas curvas integrais desenhadas sobre esse campo. O conteúdo aqui é ODE de primeira ordem separável.
Passo 2
Para resolver
separamos as variáveis. Escrevemos
e multiplicamos ambos os lados por
, obtendo
Passo 3
Integramos cada lado:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Multiplicando por
e reorganizando, a solução implícita fica
Explicitamente,
Passo 5
Para traçar o campo de direções no Desmos:
- Defina uma função de inclinação, por exemplo
- Use a ferramenta “Slope Field” ou desenhe pequenos segmentos com inclinação
em uma malha de pontos . - Para as curvas integrais, no mesmo gráfico trace
para alguns valores de (por exemplo , etc.). Isso mostra as soluções fluindo conforme o campo de direções.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
ou seja,