Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^{\prime}(x)=\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a equação diferencial
y'(x) = \frac{x}{y}
obtendo (1) o campo de direções num software (por exemplo Desmos), (2) a solução geral analítica e (3) algumas curvas integrais desenhadas sobre esse campo. O conteúdo aqui é ODE de primeira ordem separável.

Passo 2

Para resolver \;y'=\tfrac{x}{y}\; separamos as variáveis. Escrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}
e multiplicamos ambos os lados por y\,dx, obtendo
y\,dy = x\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado:
\int y\,dy = \int x\,dx
\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e reorganizando, a solução implícita fica
y^2 = x^2 + C.
Explicitamente,
y = \pm\sqrt{x^2 + C}.

Passo 5

Para traçar o campo de direções no Desmos:
  1. Defina uma função de inclinação, por exemplo m(x,y) = \frac{x}{y}.
  2. Use a ferramenta “Slope Field” ou desenhe pequenos segmentos com inclinação m(x,y) em uma malha de pontos (x,y).
  3. Para as curvas integrais, no mesmo gráfico trace y = +\sqrt{x^2 + C_i} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{x^2 + C_i}para alguns valores de C_i (por exemplo C_i=1,\,4,\,-1, etc.). Isso mostra as soluções fluindo conforme o campo de direções.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y^2 = x^2 + C,
ou seja,
y = \pm\sqrt{x^2 + C}.

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