Para a equação diferencial
(1+x^2)^12 d yd x=x y^3
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais:
y(0)=2
encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(1+x^2r)^tfrac12,dydx=x,y^3
com a condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é ODE separável: vamos separar variáveis y e x, integrar e depois impor a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dydx=x,y^3raiz1+x^2
de modo que
dyy^3=xraiz1+x^2,dx

Passo 3

Integre em ambos os lados. À esquerda,
integral y^-3,dy=integral xraiz1+x^2,dx
Calculamos
integral y^-3,dy=-12,y^2+C1,
e
integral xraiz1+x^2,dx=raiz1+x^2+C2
Juntando constantes, escrevemos
-12,y^2=raiz1+x^2+C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=2. Em x=0 temos raiz1+0^2=1 e y(0)=2, logo
-12cdot 2^2= -18 = 1 + C Longrightarrow C=-18-1=-98

Passo 5

Substituindo C=-tfrac98 na relação
-12,y^2=raiz1+x^2-98,
multiplicando por -2 e invertendo, obtemos
1y^2 =-2,raiz1+x^2+94,
y^2=194-2,raiz1+x^2,
e, pelo sinal positivo de y em x=0,
y(x)=1raiztfrac94-2,raiz1+x^2

Passo 6

Para que a solução faça sentido real, o denominador deve ser positivo:
94-2,raiz1+x^2>0 Long<=ftrightarrow 2,raiz1+x^2<94 Long<=ftrightarrow raiz1+x^2<98
1+x^2<8164 Long<=ftrightarrow x^2<1764 Long<=ftrightarrow |x|<raiz178
Portanto, o intervalo máximo de definição que contém x=0 é
l(-tfracraiz178,,,tfracraiz178r)

Resposta

y(x)=1raiztfrac94-2,raiz1+x^2,
definida no intervalo máximo
l(-tfracraiz178,,,tfracraiz178r)

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