Resolva a equação diferencial . Faça um esboço da família de soluções. Resolva o problema de valor inicial formado com cada uma das condições iniciais, encontrando em cada caso o intervalo máximo de definição e fazendo um esboço da solução:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
ou seja, . O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de variável separada degenerada em duas equações constantes, dependendo do sinal de .
Passo 2
Identificamos dois casos:
Se , então e . Integramos:
Esse ramo vale enquanto .
Se , então e . Integramos:
Esse ramo vale enquanto .
Passo 3
Esboço da família de soluções:\n
Em cada quadrante:\n
QI e QIII (): retas de inclinação , .
QII e QIV (): retas de inclinação , .
As curvas não atravessam os eixos nem , pois ali a EDO não está definida.
Passo 4
Condicão inicial . No ponto temos , logo usamos o ramo . Impõe-se
ficando
Agora determinamos o intervalo máximo onde . Como , temos
Como passamos por , o intervalo de definição que contém é
No limite a EDO deixa de estar definida, e para não há outra singularidade.