Resolva a equação diferencial y^prime=x y|x y|, (x neq 0, y neq 0). Faça um esboço da família de soluções. Resolva o problema de valor inicial formado com cada uma das condições iniciais, encontrando em cada caso o intervalo máximo de definição e fazendo um esboço da solução:
y(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
ou seja, . O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de variável separada degenerada em duas equações constantes, dependendo do sinal de .

Passo 2

Identificamos dois casos:
  • Se x,y>0, então lvert x,yrvert = x,y e y' = 1. Integramos:
y' = 1 Longrightarrow y = x + C1
Esse ramo vale enquanto x,y>0.
  • Se x,y<0, então lvert x,yrvert = -,x,y e y' = -1. Integramos:
y' = -1 Longrightarrow y = -,x + C2
Esse ramo vale enquanto x,y<0.

Passo 3

Esboço da família de soluções:\n
Em cada quadrante:\n
  • QI e QIII ( xy>0): retas de inclinação +1, y = x + C1.
  • QII e QIV ( xy<0): retas de inclinação -1, y = -x + C2.
    As curvas não atravessam os eixos x=0 nem y=0, pois ali a EDO não está definida.

Passo 4

Condicão inicial y(1)=2. No ponto (1,2) temos x,y>0, logo usamos o ramo y=x+C1. Impõe-se
2 = 1 + C1Longrightarrow C1 = 1,
ficando
y = x + 1
Agora determinamos o intervalo máximo onde x,y>0. Como y=x+1, temos
x,(x+1)>0Longrightarrow xin(-infty,-1)cup(0,infty)
Como passamos por x=1, o intervalo de definição que contém 1 é
(0,infty)
No limite xto0^+ a EDO deixa de estar definida, e para xto+infty não há outra singularidade.

Resposta

A solução geral é
y= x + C1,&xy>0, -,x + C2,&xy<0
Para o IVP y(1)=2, a solução é
y = x + 1, xin(0,infty)

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