Utilize a Regra da Cadeia para determinar d zd t.
(a) z=x^2 y+x y^2, x=2+t^4, y=1-t^2.

Passo 1

O enunciado define
z = x^2y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^2
e pede dfracdzdt. O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis, que nos diz
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Tratando y como constante ao derivar em x e vice-versa, obtemos
partial zpartial x = 2xy + y^2,
partial zpartial y = x^2 + 2xy

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
x(t) = 2 + t^4Longrightarrow dxdt = 4t^3,
y(t) = 1 - t^2Longrightarrow dydt = -2t

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = l(2xy + y^2r),4t^3 + l(x^2 + 2xyr),(-2t)

Passo 5

Substituímos x=2+t^4 e y=1-t^2 e simplificamos. Primeiro
2xy + y^2 = 2(2+t^4)(1-t^2) + (1-t^2)^2 = 5 -6t^2 +3t^4 -2t^6,
x^2 + 2xy = (2+t^4)^2 + 2(2+t^4)(1-t^2) = 8 -4t^2 +6t^4 -2t^6 + t^8
Logo
dzdt = (5 -6t^2 +3t^4 -2t^6),4t^3 + (8 -4t^2 +6t^4 -2t^6 + t^8)(-2t),
que se expande e combina termos como
dzdt = -16t +28t^3 -36t^5 +16t^7 -10t^9

Resposta

dzdt = -16t +28t^3 -36t^5 +16t^7 -10t^9

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