(a) Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo é equações diferenciais separáveis: vamos separar variáveis e integrar de ambos os lados, depois usar a condição inicial para determinar a constante e obter
explicitamente, bem como seu intervalo máximo de definição.
Passo 2
Separando variáveis, escrevemos
Em seguida integramos cada lado.
Passo 3
Do lado esquerdo,
e do lado direito,
Igualando e absorvendo constantes em uma só
, obtemos
Passo 4
Isolando
e invertendo, definindo
, temos
Impondo
, no ponto
a expressão dá
e
, de onde
Logo
e como
escolhemos o sinal positivo:
Para que o denominador seja real e positivo precisamos
isto é
Passo 5
Em
temos
. À medida que
,
faz o denominador
, logo
. A curva é par em
, assume mínimo
em
e tende a
conforme
se aproxima de
. Isso gera um “U” aberto para cima com assíntotas verticais em
.