(a) Resolva a equação diferencial
raiz1+x^2 d yd x=x(y-1)^3
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
raiz1+x^2,dydx=x(y-1)^3
com a condição inicial y(0)=2. O conteúdo é equações diferenciais separáveis: vamos separar variáveis e integrar de ambos os lados, depois usar a condição inicial para determinar a constante e obter y(x) explicitamente, bem como seu intervalo máximo de definição.

Passo 2

Separando variáveis, escrevemos
dy(y-1)^3=xraiz1+x^2,dx
Em seguida integramos cada lado.

Passo 3

Do lado esquerdo,
integral(y-1)^-3,dy=-tfrac12,(y-1)^-2+C1,
e do lado direito,
integralxraiz1+x^2,dx=raiz1+x^2+C2
Igualando e absorvendo constantes em uma só C=C2-C1, obtemos
-tfrac12,(y-1)^-2=raiz1+x^2+C

Passo 4

Isolando (y-1)^-2 e invertendo, definindo K=-2C, temos
(y-1)^2=1K-2raiz1+x^2
Impondo y(0)=2, no ponto x=0 a expressão dá
(y(0)-1)^2=1 e raiz1+0^2=1, de onde
1=1K-2 Longrightarrow K=3
Logo
(y-1)^2=13-2raiz1+x^2,
e como y(0)=2>1 escolhemos o sinal positivo:
y(x)=1+1raiz3-2raiz1+x^2
Para que o denominador seja real e positivo precisamos
3-2raiz1+x^2>0 Longrightarrow x^2<tfrac54,
isto é
-raiz52<x<raiz52

Passo 5

Em x=0 temos y(0)=2. À medida que lvert xrverttoraiz5/2, raiz1+x^2to3/2 faz o denominador 3-2raiz1+x^2to0^+, logo y(x)to+infty. A curva é par em x, assume mínimo 2 em x=0 e tende a +infty conforme x se aproxima de pmraiz5/2. Isso gera um “U” aberto para cima com assíntotas verticais em x=pmraiz5/2.

Resposta

y(x)=1+1raiz3-2raiz1+x^2, -raiz52<x<raiz52

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