Numa equação diferencial de segunda ordem sem o termo
, isto é, na forma
, a substituição
(e consequentemente
) leva a uma equação de primeira ordem na forma
. Se uma solução
puder ser encontrada a solução
pode ser obtida via integração de
. Use este método para resolver as equações abaixo:
Passo 1
Temos a EDO de segunda ordem
Passo 2
Substituindo
(logo
), a equação fica
Isolando
Passo 3
Reconhecemos uma equação separável em
e
. Escrevemos
e integramos ambos os lados.
Passo 4
Ao integrar,
obtemos
que leva a
(com
).
Passo 5
Invertendo a relação, surge
$$v = y’ = \frac{1}{\tfrac{1}{t} + C} = \frac{t}{1 + C,t}.
$$
Chamando , temos
.
Chamando
Passo 6
Finalmente integramos
para achar
. Fazendo a substituição
(logo
e
),
Substituindo
, chegamos à solução.
Passo 7
Os passos acima determinam a família geral de soluções
da equação dada.