Numa equação diferencial de segunda ordem sem o termo y, isto é, na forma y^prime prime=f(t, y^prime), a substituição v=y^prime (e consequentemente v^prime=y^prime prime ) leva a uma equação de primeira ordem na forma v^prime=f(t, v). Se uma solução v puder ser encontrada a solução y pode ser obtida via integração de d yd t=v. Use este método para resolver as equações abaixo:
t^2 y^prime prime=(y^prime)^2, t>0

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem
t^2y'' = (y')^2,com dependência apenas de y' (sem termo em y). O conteúdo é redução de ordem via substituição e equação separável. Vamos usar v = y' para transformar num problema de primeira ordem e depois integrar para achar y.

Passo 2

Substituindo v=y' (logo v'=y''), a equação fica
t^2v' = v^2
Isolando v', obtemos
v' = v^2t^2

Passo 3

Reconhecemos uma equação separável em v e t. Escrevemos
dvv^2 = dtt^2
e integramos ambos os lados.

Passo 4

Ao integrar,
integral dvv^2 = -1v, integral dtt^2 = -1t + C1,
obtemos
-1v = -1t + C1
que leva a
1v = 1t + C
(com C=-C1).

Passo 5

Invertendo a relação, surge
$$v = y’ = \frac{1}{\tfrac{1}{t} + C} = \frac{t}{1 + C,t}.
$$
Chamando v = y' = 1tfrac1t + C = t1 + C,t , temos K = C.

Passo 6

Finalmente integramos y' para achar y. Fazendo a substituição u = 1 + Kt (logo du = K,dt e t = (u-1)/K),
y = integral t1+Kt,dt = integral (u-1)/Ku cdot duK = 1K^2integral l(1 - 1ur)du = 1+KtK^2 - 1K^2ln(u) + C2
Substituindo u=1+Kt, chegamos à solução.

Passo 7

Os passos acima determinam a família geral de soluções y da equação dada.

Resposta

y(t) = tK - 1K^2lnl(1 + Ktr) + C2,onde K e C2 são constantes arbitrárias.

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