Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região R em torno do eixo dos $ y $. Essa região está delimitada pelas curvas $ x = 3 + \sin y $, $ x = 0 $, $ y = -\frac{5\pi}{2} $ e $ y = \frac{5\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Quando giramos uma região em torno de um eixo, podemos imaginar cortando o sólido em fatias fininhas (cilindros). O volume total é a soma dos volumes dessas fatias. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde $ x $ é a distância da função ao eixo de rotação (no caso, eixo dos $ y $), e $ f(y) $ é a função que define o limite da região.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está limitada por $ y = -\frac{5\pi}{2} $ e $ y = \frac{5\pi}{2} $. Então, nosso intervalo de integração vai de $ a = -\frac{5\pi}{2} $ até $ b = \frac{5\pi}{2} $.
Passo 4
A próxima coisa é identificar a função $ x $ que define o limite da região. Aqui, $ x = 3 + \sin y $ é a curva que está sendo girada em torno do eixo dos $ y $. A outra limite em $ x $ é $ x = 0 $, que é o próprio eixo dos $ y $.
Passo 5
Com isso, nossa função $ f(y) $ é $ 3 + \sin y $. Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
- $ \int 9 , dy = 9y $
- $ \int 6\sin y , dy = -6\cos y $
- $ \int \sin^2 y , dy $ – pra isso, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^2 y = \frac{1 - \cos 2y}{2} $:
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Passo 9
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração:
Para $ y = \frac{5\pi}{2} $:
Para $ y = -\frac{5\pi}{2} $:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 95\pi^{2} $ unidades cúbicas.