Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x=3+sen y, x=0, y=-5 pi2 e y=5 pi2

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região R em torno do eixo dos $ y $. Essa região está delimitada pelas curvas $ x = 3 + \sin y $, $ x = 0 $, $ y = -\frac{5\pi}{2} $ e $ y = \frac{5\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Quando giramos uma região em torno de um eixo, podemos imaginar cortando o sólido em fatias fininhas (cilindros). O volume total é a soma dos volumes dessas fatias. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(y) , dy
Onde $ x $ é a distância da função ao eixo de rotação (no caso, eixo dos $ y $), e $ f(y) $ é a função que define o limite da região.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está limitada por $ y = -\frac{5\pi}{2} $ e $ y = \frac{5\pi}{2} $. Então, nosso intervalo de integração vai de $ a = -\frac{5\pi}{2} $ até $ b = \frac{5\pi}{2} $.

Passo 4

A próxima coisa é identificar a função $ x $ que define o limite da região. Aqui, $ x = 3 + \sin y $ é a curva que está sendo girada em torno do eixo dos $ y $. A outra limite em $ x $ é $ x = 0 $, que é o próprio eixo dos $ y $.

Passo 5

Com isso, nossa função $ f(y) $ é $ 3 + \sin y $. Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
f(y)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 + sin y)^2 = 9 + 6sin y + sin^2 y
Então, a integral fica:
V = 2pi integral -5pi2 ^ 5pi2 (9 + 6sin y + sin^2 y) , dy

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. $ \int 9 , dy = 9y $
  2. $ \int 6\sin y , dy = -6\cos y $
  3. $ \int \sin^2 y , dy $ – pra isso, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^2 y = \frac{1 - \cos 2y}{2} $:
integral 9 , dy = 9y

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
V = 2pi [ 9y - 6cos y + y2 - sin 2y4 ] -5pi2 ^ 5pi2

Passo 9

Agora, vamos calcular isso nos limites de integração:
Para $ y = \frac{5\pi}{2} $:
y = 5pi2
Para $ y = -\frac{5\pi}{2} $:
9 cdot 5pi2 - 6cos(5pi2) + 5pi22 - sin(2 cdot 5pi2)4 = 45pi2 - 6 cdot 0 + 5pi4 - sin 5pi4 = 45pi2 + 5pi4 = 95pi4

Passo 10

Subtraindo os valores:
95pi4 - (-95pi4) = 95pi4 + 95pi4 = 190pi4 = 95pi2
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
2pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 95\pi^{2} $ unidades cúbicas.

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