Ex. 5.Determinar o tipo das seguintes equaçōes diferenciais e indicar o método de resolução:
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede para identificar o tipo de equação e indicar como resolvê-la. Vamos usar teoria de equações de Riccati, pois o lado direito é um polinômio de grau
em
.
Passo 2
Expandindo o lado direito, temos
Isso deixa claro que podemos escrevê-la na forma
com
Qualquer EDO desse tipo é chamada de equação de Riccati.
Passo 3
O método geral para Riccati é:
– Se você conhecer uma solução particular , faz a substituição
– Se você conhecer uma solução particular
que leva a uma EDO linear de primeira ordem em
.
– No caso em que não se conhece , usa-se a transformação
– No caso em que não se conhece
que converte a Riccati em uma EDO linear de segunda ordem em
.
Em particular, para nosso caso a substituição gera
Em particular, para nosso caso a substituição
uma equação linear de segunda ordem.
Resposta
É uma equação de Riccati (EDO de primeira ordem não linear, quadrática em
) e resolve-se usando
. se existir uma solução particular
, a substituição
(torna-se linear de
ordem);
. em geral, a substituição
, que leva a uma EDO linear de segunda ordem.