Ex. 5.Determinar o tipo das seguintes equaçōes diferenciais e indicar o método de resolução:
y^prime=(x+y)^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = (x + y)^2
e pede para identificar o tipo de equação e indicar como resolvê-la. Vamos usar teoria de equações de Riccati, pois o lado direito é um polinômio de grau 2 em y.

Passo 2

Expandindo o lado direito, temos
y' = x^2 + 2,x,y + y^2
Isso deixa claro que podemos escrevê-la na forma
y' = q0(x) + q1(x),y + q2(x),y^2
com
q0(x)=x^2, q1(x)=2x, q2(x)=1
Qualquer EDO desse tipo é chamada de equação de Riccati.

Passo 3

O método geral para Riccati é:
– Se você conhecer uma solução particular yp(x), faz a substituição
y = yp + 1u,
que leva a uma EDO linear de primeira ordem em u.
– No caso em que não se conhece yp, usa-se a transformação
y = -u'u,
que converte a Riccati em uma EDO linear de segunda ordem em u.
Em particular, para nosso caso a substituição y=-u'/u gera
u''-2x,u'+x^2,u=0,
uma equação linear de segunda ordem.

Resposta

É uma equação de Riccati (EDO de primeira ordem não linear, quadrática em y) e resolve-se usando
1. se existir uma solução particular yp, a substituição y=yp+1/u (torna-se linear de 1circ ordem);
2. em geral, a substituição y=-u'/u, que leva a uma EDO linear de segunda ordem.

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