Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ointC x y d x+x^2 y^3 d y ao longo do triângulo C de vértices (0,0),(1,2) e (1,0) (percorrido nesse sentido dado pela sequência de vértices).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC P,dx + Q,dy
ao longo do triângulo C de vértices (0,0)to(1,2)to(1,0)to(0,0), com
P(x,y)=x,y, Q(x,y)=x^2y^3
O conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona integral de linha e integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

Verificamos a orientação de C. Usando a soma
sum(xi yi+1-xi+1yi)
para (0,0)to(1,2)to(1,0)to(0,0) obtém-se valor negativo, logo C está orientado no sentido horário. Como o Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária), o resultado final será o negativo da integral dupla.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =2x,y^3, partial Ppartial y =x
O integrando de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x,y^3-x =x,(2y^3-1)

Passo 4

A região D é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,2). Em coordenadas,
D=(x,y)mid 0<= x<=1, 0<= y<=2x
Pela orientação invertida,
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaDl(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA =-integral duplaDx,(2y^3-1),dA

Passo 5

Montamos a integral iterada:
integral duplaDx,(2y^3-1),dA =integralx=0^1integraly=0^2xx,(2y^3-1),dy,dx

Passo 6

Primeiro integramos em y:
integral0^2x(2y^3-1),dy =l[tfrac12y^4-yr]0^2x =8x^4-2x
Multiplicando por x, fica
integral0^1x,(8x^4-2x),dx =integral0^1(8x^5-2x^2),dx =l[tfrac86x^6-tfrac23x^3r]0^1 =tfrac43-tfrac23 =tfrac23

Passo 7

Aplicando o sinal devido à orientação horário, temos
ointCx y,dx + x^2y^3,dy =-tfrac23

Resposta

-tfrac23

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