Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha
ao longo do triângulo
de vértices
e
(percorrido nesse sentido dado pela sequência de vértices).
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao longo do triângulo
de vértices
, com
O conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona integral de linha e integral dupla sobre a região
interna a
.
Passo 2
Verificamos a orientação de
. Usando a soma
para
obtém-se valor negativo, logo
está orientado no sentido horário. Como o Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária), o resultado final será o negativo da integral dupla.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
O integrando de Green é
Passo 4
A região
é o triângulo com vértices
. Em coordenadas,
Pela orientação invertida,
Passo 5
Montamos a integral iterada:
Passo 6
Primeiro integramos em
:
Multiplicando por
, fica
Passo 7
Aplicando o sinal devido à orientação horário, temos