Sejam a, b, c inteiros. Prove que:
Se a, b são relativamente primos, então mdc(a c, b)=mdc(c, b).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos inteiros a, b, c e sabemos que gcd(a,b)=1. Queremos provar que gcd(a c,b)=gcd(c,b). O conteúdo que vamos usar são propriedades de divisibilidade, definição de máximo divisor comum (mdc) e o fato de que se gcd(a,b)=1 então nenhum primo pode dividir simultaneamente a e b.

Passo 2

Mostramos que gcd(c,b) divide gcd(a c,b). Seja d2=gcd(c,b). Por definição d2mid c e d2mid b. Como d2mid c então d2mid a c. Logo d2 é divisor comum de a c e de b, o que implica d2midgcd(a c,b).

Passo 3

Mostramos que gcd(a c,b) divide gcd(c,b). Seja d1=gcd(a c,b). Então d1mid b e d1mid a c. Qualquer primo p que divide d1 divide b e a c. Se pmid a então p dividiria a e b, mas gcd(a,b)=1 impede isso. Logo nenhum primo divisor de d1 pode dividir a, forçando-o a dividir c. Assim d1mid c e já sabemos d1mid b, ou seja, d1 é divisor comum de b e c, e portanto d1midgcd(c,b).

Passo 4

Como mostramos que gcd(c,b)midgcd(a c,b) e gcd(a c,b)midgcd(c,b), concluímos que os dois números são iguais.

Resposta

gcd(a c,b)=gcd(c,b)

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