Sejam
inteiros. Prove que:
Se
são relativamente primos, então
.
Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos inteiros a, b, c e sabemos que
. Queremos provar que
. O conteúdo que vamos usar são propriedades de divisibilidade, definição de máximo divisor comum (mdc) e o fato de que se
então nenhum primo pode dividir simultaneamente a e b.
Passo 2
Mostramos que
divide
. Seja
. Por definição
e
. Como
então
. Logo
é divisor comum de
e de
, o que implica
.
Passo 3
Mostramos que
divide
. Seja
. Então
e
. Qualquer primo
que divide
divide
e
. Se
então
dividiria
e
, mas
impede isso. Logo nenhum primo divisor de
pode dividir
, forçando-o a dividir
. Assim
e já sabemos
, ou seja,
é divisor comum de
e
, e portanto
.
Passo 4
Como mostramos que
e
, concluímos que os dois números são iguais.