Equação de difusão/equação de condução do calor com condições iniciais e de contorno: método de separação de variáveis
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução
, para a equação de difusão/equação de condução do calor
no intervalo
, em que
, sob a condição inicial
em que
é uma função conhecida, e sob as condições de contorno a seguir.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de condução de calor unidimensional
em
,
, com condição inicial
e contornos
Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em supor
e reduzir a PDE a dois problemas de valor de contorno de equações ordinárias.
Passo 2
Substituindo
na equação, obtemos
onde
é constante de separação. Assim ficamos com os dois ODEs:
Passo 3
Impondo as condições de contorno em
:
-
implica proporcional a . -
dá
Logo
Passo 4
A equação temporal para cada modo
é
Portanto cada modo separável é
Passo 5
Pela linearidade, a solução geral é
Impondo
leva a
Como
os coeficientes são