Equação de difusão/equação de condução do calor com condições iniciais e de contorno: método de separação de variáveis
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução u(x, t), t>0, para a equação de difusão/equação de condução do calor
k \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=0 ; \quad k>0
no intervalo x \in[0, L], em que L>0, sob a condição inicial
u(x, 0)=P(x)
em que P(x) é uma função conhecida, e sob as condições de contorno a seguir.
\begin{array}{r} u(0, t)=0 \\\ u_{x}(L, t)=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de condução de calor unidimensional
k\,\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=0
em 0\le x\le L, t>0, com condição inicial u(x,0)=P(x) e contornos
u(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0.
Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em supor
u(x,t)=X(x)\,T(t),
e reduzir a PDE a dois problemas de valor de contorno de equações ordinárias.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na equação, obtemos
k\,X''(x)\,T(t)-X(x)\,T'(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{k}\,\frac{T'(t)}{T(t)}=-\lambda^2,
onde \lambda^2 é constante de separação. Assim ficamos com os dois ODEs:
X''(x)+\lambda^2\,X(x)=0, \quad T'(t)+k\,\lambda^2\,T(t)=0.

Passo 3

Impondo as condições de contorno em X(x):
  1. X(0)=0 implica X proporcional a \sin(\lambda x).
  2. X'(L)=0
X'(x)=\lambda\cos(\lambda x)\,\Rightarrow\, X'(L)=0\;\Longrightarrow\;\cos(\lambda L)=0 \;\Longrightarrow\;\lambda\,L=\frac{(2n+1)\pi}{2},\;n=0,1,2,\dots
Logo
\lambda_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L}, \quad X_n(x)=\sin\bigl(\lambda_n x\bigr).

Passo 4

A equação temporal para cada modo n é
T_n'(t)+k\,\lambda_n^2\,T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=e^{-\,k\,\lambda_n^2\,t}.
Portanto cada modo separável é
u_n(x,t)=\sin(\lambda_n x)\,e^{-k\,\lambda_n^2\,t}.

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}B_n\,\sin(\lambda_n x)\,e^{-k\,\lambda_n^2\,t}.
Impondo u(x,0)=P(x) leva a
P(x)=\sum_{n=0}^{\infty}B_n\,\sin(\lambda_n x).
Como
\int_{0}^{L}\sin^2(\lambda_n x)\,dx=\frac{L}{2},
os coeficientes são
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(\xi)\,\sin\bigl(\lambda_n \,\xi\bigr)\,d\xi, \quad \lambda_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L}.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(\xi)\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}\,\xi\bigr)\,d\xi\biggr) \sin\!\bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}\,x\bigr)\, \exp\!\bigl(-k\,\tfrac{(2n+1)^{2}\pi^{2}}{4L^{2}}\,t\bigr).

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