Exercício 6 ( 1,0 ponto) - Um feixe de átomos de hidrogênio, emitidos de um forno a uma temperatura \mathrm{T}=400 \mathrm{~K}, passam através de um magneto de Stern-Gerlach de comprimento \mathrm{C}=1 \mathrm{~m} (um metro). Os átomos experimentam um campo magnético de gradiente 10 \mathrm{~T} / \mathrm{m}. Calcule a deflexão do feixe no eixo z, devido a força exercida sobre o momento de dipolo magnético de spin quando o feixe deixa a região de campo magnético.

Passo 1

O enunciado pede a deflexão no eixo z de um feixe de átomos de hidrogênio que atravessa um campo magnético com gradiente \tfrac{dB}{dz}=10\:\mathrm{T/m} ao longo de um comprimento L=C=1\:\mathrm{m}.
Conteúdos necessários:
– Velocidade típica dos átomos a T=400\:\mathrm{K}, obtida de \tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{rms}}^2 = \tfrac{3}{2}k_B T.
– Força magnética sobre dipolo de spin: F_z = \mu_z\,\tfrac{dB}{dz}, com \mu_z=\mu_B.
– Cinemática de um corpo sob aceleração constante: \Delta z = \tfrac12 a_z\,t^2.

Passo 2

Calcular a velocidade quadrática média v_{\mathrm{rms}} dos átomos:
\tfrac12\,m\,v_{\mathrm{rms}}^2 \;=\;\tfrac32\,k_B\,T \quad\Longrightarrow\quad v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\,k_B\,T}{m}}
Substituindo k_B=1,38\times10^{-23}\:\mathrm{J/K}, T=400\:\mathrm{K} e m=1{,}67\times10^{-27}\:\mathrm{kg}:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\cdot1{,}38\times10^{-23}\cdot400}{1{,}67\times10^{-27}}} \approx3{,}15\times10^{3}\:\mathrm{m/s}.
O tempo de voo dentro do magneto é
t = \frac{L}{v_{\mathrm{rms}}} = \frac{1\:\mathrm{m}}{3{,}15\times10^3\:\mathrm{m/s}} \approx3{,}17\times10^{-4}\:\mathrm{s}.

Passo 3

Determinar a força magnética. O momento de dipolo de spin do elétron em hidrogênio vale \mu_z=\mu_B, onde \mu_B=9,27\times10^{-24}\:\mathrm{J/T}.
F_z = \mu_B \,\frac{dB}{dz} = (9{,}27\times10^{-24}\:\mathrm{J/T})\,(10\:\mathrm{T/m}) =9{,}27\times10^{-23}\:\mathrm{N}.
A aceleração resultante é
a_z = \frac{F_z}{m} = \frac{9{,}27\times10^{-23}}{1{,}67\times10^{-27}} \approx5{,}55\times10^{4}\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular a deflexão acumulada dentro do magneto como movimento uniformemente acelerado a partir de v_{z,0}=0:
\Delta z = \frac12\,a_z\,t^2 = \frac12 \,(5{,}55\times10^4)\,(3{,}17\times10^{-4})^2 \approx2{,}8\times10^{-3}\:\mathrm{m}.

Resposta

A deflexão do feixe ao sair da região de campo magnético é, em módulo,
\boxed{\Delta z \approx 2{,}8\times10^{-3}\:\mathrm{m}} \quad(\text{aproximadamente }2{,}8\:\mathrm{mm}).

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