Equação de onda de D’Alembert - sob condições iniciais e condições de contorno
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução u(x, t), t>0, para a equação de onda
v^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=0
no intervalo x \in[0, L], em que L>0 é dado, sob as condições iniciais
\begin{array}{r} u(x, 0)=P(x) \\\ u_{t}(x, 0)=Q(x) \end{array}
em que P(x) e Q(x) são funções dadas, e sob as condições de contorno a seguir.
1.
\left\{\begin{array}{l} u_{x}(0, t)=0 \\\ u_{x}(L, t)=0 \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} u(0, t)=0 \\\ u_{x}(L, t)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação de onda de D’Alembert
v^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}} \;-\;\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}=0,\quad x\in[0,L],\;t>0,
sujeita às condições iniciais
u(x,0)=P(x),\quad u_{t}(x,0)=Q(x),
e a dois tipos de contorno:
1. Neumann– Neumann: u_{x}(0,t)=0, u_{x}(L,t)=0.
2. Dirichlet– Neumann: u(0,t)=0, u_{x}(L,t)=0.
Vamos obter, em cada caso, a série de autovalores e autovetores, escrever a solução geral e determinar os coeficientes a partir de P(x) e Q(x).

Passo 2

Assumimos a forma separável
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação de onda e dividindo por X\,T obtém-se
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{v^{2}}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda,
com \lambda constante de separação. Assim ficamos com
X''(x)+\lambda\,X(x)=0,\quad T''(t)+\lambda\,v^{2}\,T(t)=0.

Passo 3

Caso 1 – Neumann–Neumann: X'(0)=0, X'(L)=0.
A condição X'(0)=0 e X'(L)=0 admite como autovalores
\lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
e autovetores
X_{0}(x)=1,\qquad X_{n}(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\;(n\ge1).

Passo 4

A solução geral para o caso 1 é
u(x,t)=A_{0}+B_{0}\,t +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi v}{L}t\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi v}{L}t\bigr)\Bigr] \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).
Os coeficientes vêm de expandir P e Q em cossenos ortogonais:
A_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}P(x)\,\mathrm{d}x,
B_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}Q(x)\,\mathrm{d}x,
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,\mathrm{d}x,
B_{n}=\frac{2}{v\,n\pi}\int_{0}^{L}Q(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,\mathrm{d}x,\quad n\ge1.

Passo 5

Caso 2 – Dirichlet–Neumann: X(0)=0, X'(L)=0.
Solução de X''+\lambda X=0 com X(0)=0 X(x)=\sin(kx). A condição X'(L)=0 exige
k_{n}L=\frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots,
ou seja
\lambda_{n}=k_{n}^{2}=\Bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}\Bigr)^{2}.

Passo 6

A solução geral para o caso 2 é
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos(v\,k_{n}t) +B_{n}\sin(v\,k_{n}t)\Bigr]\sin(k_{n}x),
com k_{n}=(2n+1)\pi/(2L). Os coeficientes vêm de
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(x)\sin(k_{n}x)\,\mathrm{d}x,
B_{n}=\frac{2}{v\,k_{n}\,L}\int_{0}^{L}Q(x)\sin(k_{n}x)\,\mathrm{d}x.

Resposta

(a) Condições u_{x}(0,t)=u_{x}(L,t)=0:
u(x,t)=A_{0}+B_{0}\,t +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi v}{L}t\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi v}{L}t\bigr)\Bigr]\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr),
com
A_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}P(x)\,\mathrm{d}x,\quad B_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}Q(x)\,\mathrm{d}x,
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\mathrm{d}x,\quad B_{n}=\frac{2}{v\,n\pi}\int_{0}^{L}Q(x)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\mathrm{d}x.
(b) Condições u(0,t)=0, u_{x}(L,t)=0:
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos\!\bigl(v\,k_{n}t\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(v\,k_{n}t\bigr)\Bigr]\sin\!\bigl(k_{n}x\bigr),
k_{n}=\frac{(2n+1)\pi}{2L},\quad A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}P(x)\sin(k_{n}x)\,\mathrm{d}x,\quad B_{n}=\frac{2}{v\,k_{n}\,L}\int_{0}^{L}Q(x)\sin(k_{n}x)\,\mathrm{d}x.

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