Equação de onda de D’Alembert - sob condições iniciais e condições de contorno
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução
, para a equação de onda
no intervalo
, em que
é dado, sob as condições iniciais
em que
e
são funções dadas, e sob as condições de contorno a seguir.
1.
1.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação de onda de D’Alembert
sujeita às condições iniciais
e a dois tipos de contorno:
. Neumann– Neumann:
,
.
. Dirichlet– Neumann:
,
.
Vamos obter, em cada caso, a série de autovalores e autovetores, escrever a solução geral e determinar os coeficientes a partir de e
.
Vamos obter, em cada caso, a série de autovalores e autovetores, escrever a solução geral e determinar os coeficientes a partir de
Passo 2
Assumimos a forma separável
Substituindo na equação de onda e dividindo por
obtém-se
com
constante de separação. Assim ficamos com
Passo 3
Caso
– Neumann–Neumann:
,
.
A condição e
admite como autovalores
A condição
e autovetores
Passo 4
A solução geral para o caso
é
Os coeficientes vêm de expandir
e
em cossenos ortogonais:
Passo 5
Caso
– Dirichlet–Neumann:
,
.
Solução de com
dá
. A condição
exige
Solução de
ou seja
Passo 6
A solução geral para o caso
é
com
. Os coeficientes vêm de
Resposta
(a) Condições
:
com
(b) Condições
,
: