4. A equação diofantina x^3-117 y^3=5

Esta equação possui uma história curiosa que é relatada no livro de S. Collier citado na bibliografia.
Vamos mostrar que esta equação não possui soluções inteiras. De fato, suponhamos, por absurdo, que x0, y0 seja uma solução inteira da equação. Então
x0^3 equiv 5 bmod 9,
já que 117 equiv 0 bmod 9.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diofantina
x^3 - 117,y^3 = 5
e pede para mostrar que não há soluções inteiras. O conteúdo principal é aritmética modular, em particular cubos módulo 9.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma solução inteira (x0,y0). Então
x0^3 - 117,y0^3 = 5
Como 117 equiv 0 pmod9, esta relação implica
x0^3 equiv 5 pmod9

Passo 3

Vamos ver quais são os possíveis resíduos de um cubo módulo 9. Para a=0,1,2,dots,8 calcula-se
a^3 bmod 9 in 0^3,1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3,7^3,8^3 equiv 0,1,8,0,1,8,0,1,8 pmod9,
ou seja, o conjunto dos cubos módulo 9 é
0,1,8 = 0,1,-1

Passo 4

Note que 5 não pertence a 0,1,8. Logo a congruência
x0^3 equiv 5 pmod9
é impossível. Isso contradiz a hipótese de existência de (x0,y0).

Resposta

A equação x^3-117,y^3=5 não possui soluções inteiras.

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