4. A equação diofantina
Esta equação possui uma história curiosa que é relatada no livro de S. Collier citado na bibliografia.
Vamos mostrar que esta equação não possui soluções inteiras. De fato, suponhamos, por absurdo, que
seja uma solução inteira da equação. Então
já que
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diofantina
e pede para mostrar que não há soluções inteiras. O conteúdo principal é aritmética modular, em particular cubos módulo 9.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma solução inteira
. Então
Como
, esta relação implica
Passo 3
Vamos ver quais são os possíveis resíduos de um cubo módulo 9. Para
calcula-se
ou seja, o conjunto dos cubos módulo 9 é
Passo 4
Note que
não pertence a
. Logo a congruência
é impossível. Isso contradiz a hipótese de existência de
.
Resposta
A equação
não possui soluções inteiras.