(b) Se mdc(n, p)=1, mostre que n^12 equiv 1 bmod p, para p=2,3,5,7 e 13 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se mdc(n,p)=1, então
n^12equiv1bmod p
para p=2,3,5,7 e 13. O conteúdo envolve o pequeno Teorema de Fermat e propriedades de expoentes em congruências.

Passo 2

O pequeno Teorema de Fermat diz que, para todo primo p e todo inteiro n com mdc(n,p)=1, vale
n^p-1equiv1bmod p

Passo 3

Nos casos p=2,3,5,7,13, observamos que p-1 divide 12, pois
2-1=1,3-1=2,5-1=4,7-1=6,13-1=12,
e todos esses números dividem 12.

Passo 4

Como p-1mid12, existe inteiro k tal que 12=k(p-1). Elevando a congruência
n^p-1equiv1bmod p
à potência k, obtemos
n^12=l(n^p-1r)^kequiv1^k=1bmod p

Resposta

Para cada pin2,3,5,7,13 com mdc(n,p)=1, segue
n^12equiv1bmod p

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