Problema 4.29. Mostre que se i=0,1,2,3,4, então -i=5-i.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos, em Z5, que para cada iin0,1,2,3,4 as classes de equivalência de -i e de 5-i são iguais. O conteúdo aqui é congruência módulo 5 e propriedades de classes de equivalência.

Passo 2

Em Z5 sabemos que
5 = 0
Logo, usando a propriedade de adição de classes, temos
5 - i = 5 + -,i = 0 + -,i = -,i
Isto mostra diretamente que 5-i=-,i.

Passo 3

Para ficar ainda mais claro, conferimos caso a caso:
para i=0 temos -0=0 e 5-0=5equiv0pmod5;
para i=1 temos -1equiv4 e 5-1=4;
para i=2 temos -2equiv3 e 5-2=3;
para i=3 temos -3equiv2 e 5-3=2;
para i=4 temos -4equiv1 e 5-4=1.
Em cada caso -,i=5-i.

Resposta

-,i=5 - i para todo i=0,1,2,3,4.

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